Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Freundes meines Nachbarn”. Diese suggerieren, dass es ein Objekt gibt, welches
durch die Kennzeichnung eindeutig bestimmt ist. Dies ist nur dann der Fall, wenn
die Beschreibung ein und nur ein Objekt zum Gegenstand hat wie etwa “mein Geburtstag”.
Wenn ich von meinem Geburtstag spreche, so ist dies ein Tag im Jahr,
der nicht nur existiert sondern auch eindeutig ist. Eine definite Kennzeichnung
kann auf zwei Weisen verunglücken. Die erste ist, wenn es gar kein Objekt gibt,
auf das die Eigenschaft verweist (etwa “mein Auto”, denn ich habe keins). Russell
benutzte hier das Beispiel vom “heutigen König von Frankreich”, der nicht
existiert. Die zweite Möglichkeit ist, wenn es mehr als ein Objekt gibt. Etwa in
dem Ausdruck “mein Nachbar”, denn ich habe mehrere Nachbarn. In der Theorie
bezeichnet ein Ausdruck “derΦ” oder “meinΦ” nichts, wennΦnicht auf genau
ein Objekt zutrifft. In der Mathematik gibt es haufenweise solcher definiter Kennzeichnungen.
Eine davon ist versteckt in “ f (x)=y”. Sofern f eine Relation ist,
bezeichnet f (x) dasjenige y mit〈x, y〉∈ f . Damit das für alle x∈ M wohldefiniert
ist, muss f eine Funktion auf M sein.
6 Rekursion
Rekursion spielt nicht nur in der Mengenlehre eine wichtige Rolle. Aus der Mathematik
und Informatik ist sie gar nicht wegzudenken. Die Rekursion ist ein Definitionsschema,
das einen Gegenstand nicht direkt definiert sondern mit Hilfe anderer
Gegenstände, die ihrerseits oft nicht direkt definiert sind. Als Beispiel möge
hier die Definition der Exponentiation dienen.
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n 0 := 1
n m+1 := n·n m
Der Witz an der Definition ist der, dass nur der Ausdruck n 0 direkt definiert ist: er
ist gleich 1 (übrigens auch, wenn n=0). Der Ausdruck n m kann für m>0 nur
so berechnet werden, dass man zunächst n (m−1) ausrechnet und dann mit n multipliziert.
(In der Gleichung oben habe ich anstelle von n m n m+1 gewählt, weil das
garantiert, dass im Exponenten eine Zahl> 0 steht.) Das sieht zirkulär aus; augenscheinlich
definiert man die Exponentiation mittels der Exponentiation selbst.
Aber trotzdem kann man jede Exponentiation exakt lösen. Denn die Exponentiation
mit der Zahl m wird ja durch die Exponentiation mit der Vorgängerzahl m−1
erklärt. Und wenn m>0 eine natürliche Zahl ist, so kommt auf diesem Wege
tatsächlich zu einem expliziten Ergebnis. Man steigt einfach die Treppe abwärts: