Formale Methoden I - Universität Bielefeld
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35<br />
Eine etwas effizientere Definition (selbstverständlich mit gleichem Ergebnis) ist<br />
wie folgt.<br />
(49)<br />
m+0 := m<br />
m+n ′ := m ′ + n<br />
Hier sieht die Rechnung wie folgt aus.<br />
(50)<br />
3+4=3 ′ + 3<br />
= 4+3<br />
= 4+2 ′<br />
= 4 ′ + 2<br />
= 5+2<br />
= 5+1 ′<br />
= 5 ′ + 1<br />
= 6+1<br />
= 6+0 ′<br />
= 6 ′ + 0<br />
= 7+0<br />
= 7<br />
Hat man Addition definiert, kann man die Multiplikation mit Hilfe der Addition<br />
definieren.<br />
(51)<br />
m·0 := 0<br />
m·n ′ := (m·n)+m<br />
Am Anfang der Vorlesung hatte ich die Exponentiation definiert. Wer schwindelfrei<br />
ist, mag sich auch noch folgendes Beispiel ansehen, den sogenannten Exponentialturm.<br />
Er wird definiert durch<br />
(52)<br />
t(m, 0) := 1<br />
t(m, n+1) := m t(m,n)<br />
Daraus ergibt sich t(2, 1)=2 t(2,0) = 2 1 = 2, t(2, 2)=2 t(2,1) = 2 2 = 4, t(2, 3)=<br />
2 t(2,2) = 2 4 = 16, t(2, 4)=2 t(2,3) = 2 16 = 65536. Und t(2, 5) ist ... 2 65536 , eine<br />
riesige Zahl (größer als 10 20000 )!<br />
Wir sehen also, dass man aus der Nachfolgerfunktion eigentlich alles aufbauen<br />
kann. Deswegen nimmt sie eine zentrale Stelle ein. Das Großartige ist nun,<br />
dass wir damit zeigen können, dass für das Rechnen nur eine einzige Eigenschaft
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