Formale Methoden I - Universität Bielefeld

72 12. Reguläre Grammatiken
Schließlich ist
(161) G ◦ :=〈A, N∪{E}, S, R ◦ 〉
Zu zeigen ist L(G ◦ )=L(G). Betrachten wir dazu eine G ◦ -Ableitung〈S,⃗x 1 ,⃗x 2 ,···,⃗x n 〉,
wo⃗x n ∈ A ∗ . Setze⃗x 0 := S . Im Übergang von⃗x i nach⃗x i+1 wurde für i0, weil ja E S ist.
Die vorletzte Regelanwendung hatte also die Form V→ aE. Die Ableitung endet
also wie folgt〈...,⃗yV,⃗yaE,⃗ya〉. Nach Konstruktion von R ◦ ist dann V→ a∈R,
also ist〈⃗x 0 ,···,⃗x n−3 ,⃗yV,⃗ya〉 eine G-Ableitung. Also ist L(G ◦ )⊆L(G). Nun sei
〈⃗x 0 ,···,⃗x n 〉 eine G-Ableitung und⃗x n ∈ A ∗ . Dann ist⃗x n−1 =⃗yU und⃗x n =⃗ya für
ein U∈ N und a∈A. Wiederum sind alle Schritte bis auf den letzten auch G ◦ -
Schritte. Wir ändern diese Ableitung nun wie folgt:〈⃗x 0 ,···,⃗yU,⃗yaE,⃗ya〉. Dies ist
eine G ◦ -Ableitung.⊣
Für die Grammatik (154) liefert die Konstruktion die folgende Grammatik:
(162) S→aT, T→bE|bS, E→ε
Wir konstruieren zu einer solchen Grammatik einen endlichen Automaten auf die
folgende Weise. Die Zustände sind jetzt N, der Startzustand istS, und wir sagen,
dass genau dann A→ a B, wenn die Grammatik die Regel A→aB besitzt. Mit
anderen Worten,
(163) δ :={〈A, a, B〉 : A→aB∈R}
Ferner ist
(164) F :={A : A→ε∈R}
Dies definiert den Automaten.
Und damit erhalten wir aus (162) den folgenden Automaten
(165) 〈{a,b},{S,T,E},S,{E},δ〉
Hier ist
(166) δ={〈S,a,T〉,〈T,b,E〉,〈T,b,S〉}