Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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60 10. Reguläre Sprachen ⃗xL ∗·M. Dann ist⃗x M. Aufgrund der Gleichung (120) ist dann⃗x∈L·X, und so gibt es⃗y 0 ∈ L und⃗u 0 ∈ X mit⃗x=⃗y 0 ⃗u 0 . Nach Annahme über L ist⃗y 0 ε und so|⃗u 0 |
61 an, X n = L n·M. Dann ist X n+1 = L·X n ∪M=L·Ln·M∪M=Ln+1·M∪M=Ln+1·M, weil M⊆L n+1·Mist, dennε∈ L n+1 . Zu guter Letzt folgt jetzt leicht, dass (128) X ∗ = L ∗·M Ich weise noch auf Folgendes hin. Ist L={ε}, so ist, wie man leicht sieht, X 1 = X 2 . Denn L n ={ε}, und so ist X n = L n· K. Die Bedingung X= L· X∪M reduziert sich auf X=X∪M, was nichts anderes bedeutet, als dass X⊇M. Ist L{ε}, so enthält L wenigstens ein Wort der Länge> 0, und so ist eine Lösung von X=L·X∪M stets unendlich. Wir kommen nun zu den regulären Sprachen. Definition 10.5 (Regulärer Ausdruck) Ein regulärer Ausdruck über A hat die folgende Form. ➀ 0,εoder a, wo a∈A; ➁ s ∗ , wo s ein regulärer Ausdruck ist; ➂ s∪t, s·t, wo s und t reguläre Ausdrücke sind. Eine andere Notation zu∪ist auch|. Außerdem wird der Punkt·gerne weggelassen. Terme werden sparsam geklammert. Der Punkt und die Vereinigung sind assoziativ. So schreibt man dann ((M·a)·u)·s unter Weglassen von Klammern schlichtM·a·u·s, und schließlich lässt man auch noch die Punkte weg und bekommtMaus. Dies suggeriert natürlich, dass wir die Zeichenkette/Maus/ definiert haben, und das ist in der Tat auch richtig, wenn wir von der Tatsache absehen, dass es nicht die Zeichenkette definiert, sondern die Sprache{Maus}, die als einziges ebendiese Zeichenkette enthält. Doch zunächst muss ich sagen, welche Sprache ein regulärer Term eigentlich bezeichnet. Die von dem regulären Ausdruck r bezeichnete Sprache S (r) ist wie folgt definiert. (129) S (0) :=∅ S (ε) :={ε} S (a) :={a} S (s∪t) :=S (s)∪S (t) S (s·t) :=S (s)·S (t) S (s ∗ ) :=S (s) ∗
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5 Eine Menge ist laut Georg Cantor
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7 Tabelle 1: Alle sechzehn Mengen,
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