Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Definition 10.1 (Verkettung von Sprachen) Es seien L und M Sprachen über A.
Dann definieren wir
(105) L· M :={⃗x·⃗y :⃗x∈L,⃗y∈ M}
Man beachte, dass L· M aus allen Verkettungen⃗x·⃗y besteht, wo⃗x ∈ M und
⃗y∈L. Deswegen ist{a,ab}·{d,da}={ad,ada,abd,abda}. Ebenso ist{a,ab}·
{a,ab} = {aa,aab,aba,abab}. Das Multiplikationszeichen·bindet stärker als
Mengenoperationen, insbesondere die Vereinigung von Mengen. Deswegen kann
ich in der Formulierung des folgenden Lemmas einige Klammern sparen.
Lemma 10.2 Es gelten folgende Gesetze.
(106)
(a) {ε}· M = M
(b) M·{ε} = M
(c) L·(M·N) = (L· M)· N
(d) L·(M∪N) = (L· M)∪(L·N)
(e) (M∪ N)·L = (M·L)∪(N· L)
Beweis. Das sieht man so. (a){ε}· M={ε·⃗x :⃗x∈ M}={⃗x :⃗x∈ M}= M. Ebenso
für (b). Zu (c).
(107)
L·(M·N)= {⃗x·⃗u :⃗x∈L,⃗u∈ M·N}
= {⃗x·⃗u :⃗x∈L,⃗u∈{⃗y·⃗z :⃗y∈ M,⃗z∈ N}}
= {⃗x·(⃗y·⃗z) :⃗x∈L,⃗y∈ M,⃗z∈ N}
= {(⃗x·⃗y)·⃗z :⃗x∈L,⃗y∈ M,⃗z∈ N}
= {⃗v·⃗z :⃗v∈L· M,⃗z∈N}
= (L· M)· N
Zu (d).
(108)
L·(M∪N)= {⃗x·⃗u :⃗x∈L,⃗u∈ M∪N}
= {⃗x·⃗u : [⃗x∈L und⃗u∈ M] oder [⃗x∈L und⃗u∈N]}
= {⃗x·⃗u :⃗x∈L,⃗u∈ M}∪{⃗x·⃗u :⃗x∈L,⃗u∈N}
= (L· M)∪(L·N)
Ebenso (e).⊣
Es ist aber im Allgemeinen L· MM·L. Dazu überlege man sich, dass ja
auch⃗x·⃗y⃗y·⃗x ist — zum Beispiela·bb·a —, sodass also{a}·{b}={ab}
{ba}={b}·{a}.