Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Die endlichen Kardinalzahlen sind die Mengen n, die wir schon definiert haben.
Die erste unendliche Kardinalzahl heißtℵ 0 . Diese ist definiert durch
(71) ℵ 0 :={0, 1, 2, 3,···}
Eine Menge, welche gleichmächtig ist mitℵ 0 heißt abzählbar unendlich. (In
vielen Büchern sagt man nur abzählbar, aber ich halte das für verwirrend.) Ich
gebe hier ein Beispiel einer Ordinalzahl an, welche keine Kardinalzahl ist:
(72) ℵ 0 + 1 :=ℵ 0 ∪{ℵ 0 }
Dies ist die Mengeℵ 0 vermehrt um ein einziges Element. Ich gebe ohne Beweis
an, dass es eine Bijektion zwischen dieser Menge und der Mengeℵ 0 gibt. Daher
ist dies keine Kardinalzahl. Um eine Menge zu bekommen, die echt größer ist als
ℵ 0 , muss man schon etwas härter arbeiten.
Das Kontinuum ist die Menge aller Teilmengen vonℵ 0 (also℘(ℵ 0 )). Dies ist
zwar keine Kardinalzahl, aber man kann zeigen, dass diese Menge echt mächtiger
ist alsℵ 0 . Ich führe den Beweis hier vor. Jede Teilmenge S vonℵ 0 stellen wir
als eine unendlich lange Folge f von Nullen und Einsen dar. Diese Folge ist so
beschaffen, dass an der Stelle n dieser Folge eine 1 steht, wenn n∈S , andernfalls
steht eine Null. Die Menge der geraden Zahlen wird also zu der Folge
(73) 10101010101010···
(Bedenken Sie, die erste Stelle heißt 0, und 0 ist gerade.) Die Menge der Primzahlen
wird übersetzt in
(74) 00110101000101···
Offenkundig ist die Korrespondenz zwischen Teilmengen vonℵ 0 und Folgen exakt
(= bijektiv). Wir nehmen nun an, es gebe ein Aufzählung der Teilmengen von
ℵ 0 in der Form S 0 , S 1 , S 2 und so weiter (also eine Bijektion vonℵ 0 auf℘(ℵ 0 )).
Diese stellen wir nun als eine Aufzählung sämtlicher 0-1-Folgen dar, das heißt,
wir haben eine Aufzählung f 0 , f 1 , f 2 sämtlicher 0-1-Folgen. Ich definiere nun eine
Folge f ∗ wie folgt:
⎧
⎪⎨
(75) f ∗ 1 falls f i (i)=0
(i) := ⎪⎩ 0 falls f i (i)=1
Ich behaupte, dass die Folge f ∗ in dieser Aufzählung nicht vorkommt. Denn wenn
sie dort vorkommt, so hat sie eine Nummer, sagen wir i; dann ist also f ∗ = f i .