Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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symmetrisch und transitiv, so heißt R eine Äquivalenzrelation. R ist linear, falls
R transitiv ist und falls für alle x, y∈ M x R y oder x=y oder y R x gilt (aber nur
eines von den dreien).
Achtung. In manchen Büchern erlaubt man, dass lineare Relationen auch reflexiv
sein dürfen. Dies ist hier explizit ausgeschlossen. Denn wenn x = y gilt, darf
nicht auch x R y sein. Insbesondere ist deswegen für eine lineare Relation niemals
x R x!
Man sollte bei der Negation dieser Konzepte Vorsicht walten lassen. Eine Relation
R⊆ M×M ist schon dann nicht reflexiv, wenn es ein einziges x gibt, für das
nicht x R x. Dagegen nennt man eine Relation irreflexiv, wenn für kein x∈ M gilt
x R x. Ein Beispiel einer nicht reflexiven aber dennoch nicht irreflexiven Relation
ist{〈0, 0〉,〈0, 1〉,〈1, 0〉}⊆{0, 1}×{0, 1}. Lineare Relationen sind also nicht nur
nicht reflexiv, sie sind sogar irreflexiv. Analog für die Symmetrie. Eine Relation
ist asymmetrisch, falls für alle x, y∈ M gilt: ist x R y, so ist nicht y R x. Eine
asymmetrische Relation ist gewiss nicht symmetrisch, aber der Umgekehrte muss
nicht gelten. Ein Beispiel dafür ist{〈0, 0〉,〈0, 1〉,〈1, 1〉}⊆{0, 1}×{0, 1}.
Nehmen wir ein paar Beispiele.
➀ Die Relation “ist Nachbar von” ist symmetrisch.
➁ Die Relation “