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70 12. Reguläre Grammatiken Und schließlich ist F :={q Katze }. Es sollte klar sein, wie man das Rezept auf ein beliebiges Wort ausdehnt. 12 Reguläre Grammatiken In diesem Kapitel geben wir noch eine dritte Charakterisierung der regulären Sprachen: die regulären Sprachen sind diejenigen, die eine rechtsreguläre Grammatik haben. Definition 12.1 (Reguläre Grammatik) Eine Grammatik G heißt rechtsregulär oder einfach nur regulär, wenn die Regeln die Form A→a, A→ε oder A→aB haben, wo A und B beliebige Nichtterminalsymbole sind und a ein Terminalsymbol. Hier ist zum Beispiel eine Grammatik für die Sprache (ab) + : A :={a,b}, N := {S,T},Sdas Startsymbol, und die Regeln sind (154) S→aT, T→b|bS (Zur Notation ‘|’ siehe Seite (96).) Hier ist eine Ableitung von/ababab/: (155) S,aT,abS,abaT,ababS,ababaT,ababab Hier noch eine weitere Grammatik, die nur eine einzige Zeichenkette erzeugen kann, nämlich/Hund/. Es sei A :={a,···,z,H} (Achtung:Hist terminal!) und N :={S,T,U,V}. Es seiSdas Startsymbol. (156) S→HT T→uU U→nV V→d Hier also eine Ableitung von/Hund/, welche sogar die einzige ist: (157) S,HT,HuU,HunV,Hund Wer die Grammatik etwas besser aufschreiben möchte, kann sich der spitzen Klammern bedienen. Ich mache dies exemplarisch vor. A sei jetzt unser normales Alphabet mit Klein- und Großbuchstaben, N :={,,,}. Das Startsymbol ist. (158) →H →u →n →d
71 Die Ableitung von/Hund/ (analog zu (157)) sieht jetzt so aus: (159) ,H,Hu,Hun,Hund Mittels der Zahlen zählen wir einfach, wie viele Symbole bereits ausgegeben wurden. Damit ist wiederum klar, wie wir eine reguläre (!) Grammatik schreiben, die ein festes Wort ausgibt und sonst nichts. Es ist kein Zufall, dass es immer nur ein einziges Nichtterminalsymbol in den Zeichenketten gibt und dieses am rechten Rand auftritt. Proposition 12.2 Es sei G eine reguläre Grammatik und⃗x∈(A∪N) ∗ ein Wort mit⊢ G ⃗x. Dann ist⃗x∈A ∗ ∪ A ∗·N. Das heißt,⃗x hat die Form a 0 a 1···a n−1 oder a 0 a 1···a n−1 B, wo die a i terminale Buchstaben sind und B ein Nichtterminalzeichen. Dies kann man sich leicht selbst überlegen; dazu bedienen wir uns der Induktion über die Länge der Ableitung. Ist diese 0, so haben wir nur das Anfangswort, und dieses besteht aus dem Startsymbol. Dies erfüllt offensichtlich die Behauptung. Nun habe die Ableitung die Länge n+1 und die Behauptung sei schon für alle Ableitungen der Länge≤ n gezeigt. Dann ist das Ende der Ableitung wie folgt: 〈···,⃗xB, ?〉. Die letzte Zeichenkette wird durch Ersetzung von B erzeugt. Dabei gibt es zwei Fälle. (a) Wir nehmen eine Regel der Form B→a oder B→ε. Dann erhalten wir das Wort⃗xa bzw.⃗x. (b) Wir nehmen eine Regel der Form B→aC, dann erhalten wir ein Wort der Form⃗xaC. In beiden Fällen gilt die Behauptung. Ich weise darauf hin, dass in dem Beweis wesentlich verwendet wurde, dass⃗x aus S abgeleitet wurde. Nehmen wir zum Beispiel die obige Grammatik. Dann gilt TabS⊢ G TabaT, undTabaT hat nicht die versprochene Form (und kann deswegen nicht aus dem Startsymbol hergeleitet werden). Allerdings hat auch schonSabT nicht diese Form, und wenn man den Beweis genau anschaut, sieht man, dass immer wenn⃗x die gewünschte Form hat und⃗x⊢ G ⃗y, dann ist auch⃗y von dieser Form. Die Äquivalenz zwischen endlichen Automaten und regulären Grammatiken ist relativ direkt zu sehen. Dazu erst einmal eine wichtige Beobachtung. Proposition 12.3 Zu jeder regulären Grammatik G existiert eine reguläre Grammatik G ◦ mit L(G ◦ )=L(G), welche keine Regeln der Form A→abesitzt. Beweis. Sei G=〈A, N, S, R〉. Sei EN; wir ersetzen jede Regel der Form A→a durch zwei Regeln, nämlich A→aE und E→ε. Genauer ist (160) R ◦ := {A→aE : A→a∈R} ∪ {A→aB : A→aB∈R} ∪ {E→ε}
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