Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Denn da kein Element in∅ist, ist offenbar jedes Element von∅auch schon in M.
Ferner ist folgende Schlussregel nützlich.
Proposition 3.2 Ist M⊆Nund N⊆ P, so ist auch M⊆P.
Denn sei x beliebig gewählt. Ist x∈ M, so ist nach Voraussetzung auch x∈ N. Und
damit, wiederum nach Voraussetzung, ist x∈P. x war beliebig. Also ist M⊆P.
Wiederum können die Euler-Venn Diagramme bei der Visualisierung nützen. Man
symbolisiert die Tatsache, dass M Teilmenge von N ist dadurch, dass das Gebiet
von M in dem Gebiet von N voll enthalten ist (Abbildung 5(a)). Ist zusätzlich
N ⊆ P, so ist das Gebiet von N ganz in dem Gebiet von P enthalten, also das
Gebiet von M in dem von P (b).
Ohne Begründung gebe ich noch ein paar weitere nützliche Tatsachen bekannt.
Proposition 3.3 Es gilt:
➀ M∩N⊆M, M∩N⊆ N.
➁ Ist P⊆ M und P⊆N, so ist P⊆ M∩N.
➂ M⊆M∪N, N⊆M∪ N.
➃ Ist M⊆P und N⊆ P, so ist M∪N⊆ P.
Man überlege sich, dass M=N genau dann der Fall ist, wenn sowohl M⊆N
als auch N⊆M. Man unterscheide sorgsam zwischen M∈Nund M⊆N. Das
erste sagt, dass M ein Element von N ist, dass zweite, dass jedes Element von M
ein Element von N ist. Es kann nicht zugleich M∈Nund M⊆Nsein. (Dies ist
nicht ganz einfach zu zeigen.) Ich weise aber hier ausdrücklich darauf hin, dass
dies nicht deswegen gilt, weil es einen Unterschied gibt zwischen Elementen und
Mengen. Den gibt es nicht! Eine Menge kann auch Element einer anderen Menge
sein. Deswegen soll man den Gebrauch von Kleinbuchstaben (m) für Elemente
von Mengen nicht so verstehen, dass hier über ganz andere Objekte geredet wird.
Die Mengenlehre kennt nur eine Sorte Gegenstand. Allerdings ist es so, dass einige
Dinge, wir nannten sie die ersten Gegenstände, besonders sind, weil sie zwar
Elemente sind, aber nicht Elemente enthalten. Diese heißen auch Urelemente. Die
formale Mengenlehre schafft es, gänzlich ohne sie auszukommen (also Mengen
gleichsam aus dem Nichts zu schaffen), aber das ist in der Praxis zu mühsam.
Für Urelemente gilt denn auch nicht das Extensionalitätsprinzip: denn Urelemente