Formale Methoden I - Universität Bielefeld

82 14. Anhang: Axiomatische Mengenlehre
Fundierungsaxiom. Ist M eine Menge, so existiert keine Folge M=
M 0 ∋ M 1 ∋ M 2 ∋··· .
Extensionalität lässt sich auch so formulieren: M=Ngenau dann, wenn M⊆N
und N ⊆ M. Das Fundierungsaxiom versteht man am Besten, indem man sich
Mengen als Schachteln vorstellt. Eine Schachtel kann wiederum Schachteln enthalten,
und diese wiederum Schachteln, in denen wieder Schachteln sein können,
und so weiter. Aber erstens ist eine Schachtel nicht in sich selbst enthalten, auch
nicht in einer Schachtel, die in ihr enthalten ist, und zweitens kann man Schachteln
nicht unendlich oft hintereinander auspacken. Die Schachteln, die man da
auspackt, werden immer kleiner und kleiner, und irgendwann ist man fertig mit
dem Auspacken. Die kleinste Schachtel ist notwendigerweise leer.
Nun folgen Postulate, die uns sagen, wie wir aus alten Mengen neue Menge
machen können. Das erste ist das
Zweiermengenaxiom. Zu je zwei Mengen M und N existiert die
Menge{M, N}.
Ist insbesondere M=N, so bekommen wir die Einermenge{M}. Es sei M eine
Menge. Dann bezeichnen wir mit℘(M) die Menge der Teilmengen von M. Dass
es sich hierbei tatsächlich um eine Menge handelt, sichert man sich durch ein
Axiom. Dies formulieren wir so.
Potenzmengenaxiom. Zu jeder Menge M existiert eine Menge, deren
Elemente genau die Teilmengen von M sind. Wir bezeichnen diese
Menge mit℘(M).
Ein nächstes Axiom sichert die Existenz der Vereinigung von Mengen. Wir wollen
haben, dass mit Mengen N 1 und N 2 auch die Menge N 1 ∪ N 2 existiert. Allerdings
ist dies für viele Zwecke zu wenig. Man möchte gerne unendlich viele Mengen
vereinigen können. Daher formuliert man das etwas kompliziertere
Vereinigungsmengenaxiom. Zu jeder Menge M existiert eine Menge
N derart, dass x∈Ngenau dann, wenn ein S∈ M existiert mit x∈S .
Wir bezeichnen N auch mit ⋃ M.
Die Idee hinter diesem Axiom ist die folgende. Ist M={N 1 , N 2 }, so haben wir
⋃ M=N1 ∪ N 2 . Da wir aber nicht nur zwei oder gar endlich viele Mengen vereinigen
können wollen, sondern so viele wie möglich, fassen wir die zu vereinigenden
Mengen in eine Menge M zusammen und bilden anschließend ⋃ M. Diese
enthält genau die Elemente der zu vereinigenden Mengen.