Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Wort⃗r. Dann ist⃗x=a⃗rca⃗r. Setze⃗v := a,⃗y := a,⃗u :=ε,⃗w :=⃗rc, sowie⃗z :=⃗r.
Dann ist⃗u⃗v k ⃗w⃗y k ⃗z=a k ⃗rca k ⃗r∈ C.
Dass diese Sprache nicht kontextfrei ist, ist etwas schwierig zu sehen und soll
hier nicht gezeigt werden.⊣
Wie lässt sich nun die Pumpeigenschaft zeigen? Dazu greifen wir zu einem
Trick. Der Einfachheit halber habe die Grammatik Chomsky Form. Jede Regel in
unserer Grammatik, die die Form A → BC hat, wird in eine Regel der Form
A → [ A BC] A , wo [ A und ] A zwei neue Terminalsymbole sind. Damit hat die
neue Grammatik zwar nicht die Chomsky Form, aber das soll uns nicht stören.
Wenn die neue Grammatik eine Zeichenkette erzeugt, so müssen wir lediglich die
neuen Terminalzeichen auswischen, um eine Terminalkette der alten Grammatik
zu erhalten. Nun schauen wir uns die Zeichenketten der neuen Grammatik an.
Darin wimmelt es von Klammerpaaren der Form···[ A···] A··· . Dabei schließen
zwei Vorkommen eine Konstituente ein, falls die Anzahl der öffnenden Klammern
vor dem Vorkommen von [ A gleich der Anzahl der schließenden Vorkommen von
Klammern nach ] A ist. Jede Regelanwendung erzeugt ein solches Klammerpaar.
Habe nun G n Nichtterminalsymbole. Ich behaupte, dass für große Zeichenketten
immer die Form··· [ A··· [ A··· ] A··· ] A··· haben für ein Nichtterminalsymbol
A, wobei die äußeren und die inneren Klammerpaare jeweil seine Konstituente
einschließen. Wir haben dann unsere Zerlegung⃗u[ A ⃗v[ A ⃗w] A ⃗y] A ⃗z.
14 Anhang: Axiomatische Mengenlehre
Die populärste Theorie der Mengen ist die sogenannte Zermelo-Fränkelsche Mengenlehre
ZFC. (Der Buchstabe C steht hier für Englisch choice, Deutsch Wahl,
weil das Auswahlaxiom mit dabei ist.) Wir wollen ihre Axiome hier kurz vorstellen.
Die Sprache von ZFC kennt nur einen Typ von Objekt: den der Menge. Es
gibt zwei Relationen zwischen Mengen, nämlich die Relation∈und die Gleichheit,
geschrieben=. Die Relation∈ist weder transitiv noch reflexiv, sie ist sogar
sehr kompliziert, wie die Axiome noch lehren werden. Ist N∈M, so sagt man, N
sei Element von M. Dabei ist sowohl M als auch N eine Menge. Trotzdem unterscheidet
man Menge und Element oft typographisch, etwa indem man schreibt
x∈N. Wir sagen, M sei Teilmenge von N, in Zeichen M⊆N, falls für jedes
x∈ M auch x∈Nist. Die folgenden Postulate beschreiben die interne Struktur
von Mengen.
Extensionalitätsaxiom. Es gilt M=Ngenau dann, wenn aus x∈ M
folgt x∈Nund wenn aus x∈Nfolgt x∈ M.