Formale Methoden I - Universität Bielefeld

69
Daraus folgt dann schon die Behauptung des Satzes, was man wie folgt sieht. Sei
⃗x
⃗x∈L(A). Dann existiert ein q∈Fmit i−→ q. Es sei U nun diejenige Menge, für
die gilt i p ⃗x
={i} −→ U. Dann ist wegen (152) q∈U, und da q∈F, so ist U∈ F p .
Zusammen haben wir, dass⃗x∈L(A p ). Ist umgekehrt⃗x∈L(A p ), so existiert ein
U∈ F p ⃗x
⃗x
mit{i} −→ U. Nach Definition ist für jedes q∈U i−→ q. Es existiert ein
q ′ ⃗x
∈ U∩ F, und so ist insbesondere i−→ q ′ , also⃗x∈L(A).
Nun zum Beweis von (152). Es sei n die Länge von⃗x. Für n=0 ist Behauptung
klar. Denn nach Definition (148) ist S −→ U gdw. U= S , und dann ist U
ε
tatsächlich die Menge der von einem Zustand in S aus erreichbaren Zustände.
Sei nun die Behauptung für alle Zahlen< n gezeigt und habe⃗x die Länge n.
⃗y
Dann ist⃗x=⃗y·a für ein a und ein⃗y. Es sei V so gewählt, dass S −→ V −→
a
U. Nach Voraussetzung ist V die Menge der von einem Zustand in S aus mit⃗y
erreichbaren Zustände. Ist nun p−→ ⃗x
q ′ für ein q ′ , so ist p−→ ⃗y
q ′′ a
−→ q ′ für ein
q ′′ . Nach Induktionsannahme ist q ′′ ∈ V. Deswegen ist jeder Zustand in U mittels
a von einem Zustand in V aus erreichbar. Und so ist U die Menge der von S mit
⃗x erreichbaren Zustände.⊣
Wir können daraus einen wichtigen Schluss ziehen.
Korollar 11.7 Ist S eine durch einen endlichen Automaten akzeptierte Sprache,
so auch A ∗ − S .
Beweis. Wir können wegen dem Vorangegangenen annehmen, dass es einen deterministischen
und totalen AutomatenA=〈A, Q, i, F,δ〉 gibt mit S = L(A). Sei
A n :=〈A, Q, i, Q− F,δ〉. Ich behaupte, dass L(A n )=A ∗ − S . Dazu sei⃗x∈A ∗ . Da
die Übergangsfunktion in beiden Automaten gleich ist und total und deterministisch,
existiert nach Satz 11.5 ein eindeutiges q mit i−→ q. Es ist⃗x∈L(A) genau
⃗x
dann, wenn q∈Fund⃗x∈L(A n ) genau dann, wenn q∈Q−F, dh genau dann,
wenn qF. Dies zeigt die Behauptung.⊣
Satz 11.8 Genau dann ist eine Sprache S regulär, wenn es einen endlichen AutomatenAgibt
mit L(A)=S .
Der Beweis ist recht langwierig und sei hier nicht erbracht. Anstelle dessen gebe
ich Beispiele. So etwa ein Automat, der nur ein einziges Wort erkennt, etwa das
Wort/Katze/. Seine Zustände sind q ε , q K , q Ka , q Kat , q Katz und q Katze . Und es gibt
lediglich die folgenden Übergänge, die ich der Übersicht halber verkürzt darstelle:
(153) q ∅
K
−→ q K
a
−→ q Ka
t
−→ q Kat
z
−→ q Katz
e
−→ q Katze