Formale Methoden I - Universität Bielefeld

73
Man beachte, dass der Automat nicht deterministisch ist. (Man kann aber einen
deterministischen Automaten konstruieren, der die gleiche Sprache erkennt, wie
wir gesehen haben.)
Es gibt eine eins-zu-eins Abbildung zwischen Ableitungen und Läufen des
Automaten. Die Ableitung beginnt mit dem StartsymbolS, der Lauf mit dem
Startzustand, und dieser ist auchS. Im nächsten Schritt wählen wir eine Regel
aus (etwaS→aT), mittels derer wir die neue Zeichenkette erhalten, hier/aT/.
Für den Automaten heißt dies, der Lauf wird um das Symbol/a/ und den neuen
ZustandTverlängert. Anschließend ersetzen wir/T/ durch/bS/, und analog verlängern
wir den Lauf um/b/ gefolgt von/S/. Und so machen wir weiter. Am Ende,
wenn wir/T/ durch/b/ ersetzen, verlängern wir den Lauf um/b/ gefolgt von/E/.
Der Lauf, der zu (155) korrespondiert, ist hier wiedergegeben:
(167) 〈S,a,T,b,S,a,T,b,S,a,T,b,E〉
Nun sei ein Lauf des Automaten gegeben. Dieser hat die Form〈i, a 0 , q 0 , a 1 , q 1 ,···〉.
Nach Konstruktion des Automaten ist dann i=S , das Startsymbol, und die q i gewisse
Nichtterminale B i . Wir formen daraus diese Ableitung:
(168) 〈S, a 0 B 0 , a 0 a 1 B 1 , a 0 a 1 a 2 B 2 ,···〉
Ist der Lauf akzeptierend, so endet er inE, und dann erhalten wir diese Ableitung:
(169) 〈S, a 0 B 0 , a 0 a 1 B 1 , a 0 a 1 a 2 B 2 ,···, a 0 a 1··· a n−1 〉
Wenn wir dieses Rezept auf (167) anwenden, erhalten wir (155) zurück.
Nun seiA=〈A, Q, i, F,δ〉 ein endlicher Automat. Dann setzen wir N := Q
(die Nichtterminalsymbole der Grammatik sind die Zustände des Automaten), das
Startsymbol ist i, und wir haben folgende Regeln:
(170) R :={q→ε:q∈F}∪{q→aq ′ :δ(q, a, q ′ )}
Ein Lauf des Automaten lässt sich wie oben eins-zu-eins in eine Ableitung der
zugehörigen Grammatik übersetzen.
Wir bezeichnen den zu der Grammatik G konstruierten Automaten mit A(G),
und den zu dem AutomatenAkonstruierte Grammatik mitΓ(A).
Satz 12.4 Für eine beliebe reguläre Grammatik ist L(Γ(A(G)))=L(G); für einen
endlichen AutomatenAist L(A(Γ(A)))=L(A). Daraus folgt unmittelbar, dass die
Klasse der durch reguläre Grammatiken erzeugten Sprachen genau die Klasse der
regulären Sprachen ist.