Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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2+1=3, egal, ob wir 2 als natürliche Zahl oder als ganze Zahl verstehen. Das ist
auch der Grund, warum wir dasselbe Symbol schreiben, nämlich “+”. Dass dies
nicht ganz so selbstverständlich ist, sieht man, wenn man stattdessen die Vorgängerfunktion
anschaut, also die Abbildung x↦→ x−1. Auf den ganzen Zahlen hat
jede Zahl einen Vorgänger. Auf den natürlichen Zahlen aber gibt es zu 0 keinen
Vorgänger, und so existiert die Vorgängerfunktion nicht auf den natürlichen Zahlen.
Man kann die Lage “retten”, indem man 0 zum Vorgänger von 0 erklärt, aber
dann hat man eine andere Funktion aufNerklärt!
Sei f : M→N. Und sei K⊆M. Dann können wir f auf K einschränken.
Dies ist wie folgt definiert.
(33) f↾ K :={〈x, y〉 :〈x, y〉∈ f, x∈K}
Eine Alternative dazu ist
(34) f↾ K := f∩ (K× N)
Sei zum Beispiel s :Z→Z: x↦→ x+1 die Nachfolgerfunktion auf den ganzen
Zahlen. Dann ist s↾N:N→Z die Einschränkung auf die natürlichen Zahlen.
Diese ist allerdings identisch mit der Funktion s ↾ N : N → N, weil ja für
jedes x∈N der Nachfolger auch inNist. Der Wertebereich ist also eigentlich
ein zusätzlicher Parameter, den wir jedesmal mitdenken, wenn wir eine Funktion
definieren. Es ist gewissermaßen ein “intendierte Zielmenge”. Insofern bezeichnet
die Sprechweise “ f : M→N” mehr als nur eine Funktion; sie bezeichnet eine
Funktion zusammen mit einer Menge N, die mindestens den Wertebereich von f
enthält aber durchaus größer sein kann.
Ich komme noch einmal auf Relationen zurück. Es seien M und N zwei Mengen.
Dann sind folgende Funktionen definiert (die Projektionen, siehe (25)).
(35) π 1 (〈x, y〉) := x, π 2 (〈x, y〉) := y
Es istπ 1 : M×N→M undπ 2 : M×N→N. Ist R⊆ M× N, so heißtπ 1 [R] der
Vorbereich der Relation, undπ 2 [R] der Nachbereich.
Im Falle einer Funktion gibt es eine Asymmetrie zwischen Definitions- und
Wertebereich. Ist f alleine gegeben, so lässt sich der Definitionsbereich herauslesen.
Dies ist die Mengeπ 1 [ f ]. Dies ist die Menge aller x, denen f einen Wert
zuweist. (Ist allerdings Mπ 1 [ f ], so ist f keine Funktion; das kann man dann
natürlich nicht herauslesen. Alles was wir herausfinden können ist, welche der
möglichen Mengen der Definitionsbereich sein muss, wenn f eine Funktion ist.)
Der Wertebereich lässt sich aber nicht eindeutig bestimmen. Denn ist f : M→N
und N⊆ N ′ so ist auch f : M→N ′ .