Formale Methoden I - Universität Bielefeld

62 10. Reguläre Sprachen
Damit haben wir zum Beispiel
(130)
S (a(b|c) ∗ (ac|a))
= S (a)(S (b|c)) ∗ S (ac|a)
= {a}(S (b|c) ∗ )(S (ac)∪S (a))
= {a}((S (b)∪S (c)) ∗ )({ac}∪{a})
= {a}{b,c} ∗ {ac,a}
= {a}{ε,b,c,bb,bc,cb,cc,···}{ac,a}
= {a,ab,ac,abb,abc,acb,acc,···}{ac,a}
= {aac,abac,acac,abbac,abcac,
acbac,accac,···,
aa,aba,aca,abbac,abca,acba,
acca,···}
Definition 10.6 (Reguläre Sprache) Eine Sprache L ist regulär, falls ein regulärer
Term r existiert mit L=S (r).
Satz 10.7 Die folgenden sind reguläre Sprachen:
➀ Die Ein-Wort Sprache{⃗x}.
➁ L∪ M, wenn L und M regulär sind.
➂ Jede endliche Sprache.
➃ A ∗ − L, wenn L regulär ist.
➄ L∩ M, wenn L und M regulär sind.
Daraus folgt, dass zum Beispiel auch die Sprache A ∗ −{⃗x} (“alles außer⃗x”) auch
regulär ist. Wir beginnen mit der ersten Behauptung, ➀. Diese beweisen wir durch
Induktion über die Länge n von⃗x. Ist n=0, so ist{⃗x}={ε}=S (ε), also regulär.
Ist n>0, so ist⃗x=a·⃗y, also{⃗x}={a}·{⃗y}. Nach Induktionsannahme ist{⃗y}=S (r)
für einen regulären Ausdruck r. Dann ist{⃗x}=S (ε·r).
➁ ist leicht. Ist L=S (r) und M= S (s), so ist L∪ M= S (r∪ s). Nun zu ➂.
Auch dies zeigen wir durch Induktion, diesmal über die Mächtigkeit n von L. Ist
n=0, so ist L=∅=S (0), also regulär. Ist n>0, so ist L={⃗x}∪ M, wobei
|M|=n−1. Nach Induktionsannahme ist M= S (r) für ein reguläres r; nach ➀ ist
{⃗x}=S (s) für ein reguläres s. Dann ist L=S (r∪ s).
Den Beweis der vierten Behauptung werde ich später (genauer in der nächsten
Vorlesung) erbringen. Die fünfte folgt aus der vierten so: es sei A genügend groß,