Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Und schließlich setzen wir ganz allgemein
(116) X n+1 :={ab}· X n ∪ M
Wir haben dann
(117) X 0 ⊆ X 1 ⊆ X 2 ⊆···
Ich stelle hier ohne weitere Rechnung fest, dass
⎛
⋃
⎞⎟⎠·{a,ca}={(ab)i (118) X n = ⎜⎝ {ab} i a, (ab) i ca : i≤n}
i≤n
Die gesuchte Menge ist jetzt die kleinste Menge, die alle X n enthält; dies ist die
Vereinigung aller der X n , und es ist leicht zu sehen, dass
(119) X={(ab) n a, (ab) n ca : n∈N}={ab} ∗·{a,ca}
eine Lösung ist.
Proposition 10.4 Es ist L ∗·Mdie kleinste Sprache X, für die gilt
(120) X=L·X∪M
Ist darüberhinausεL, so ist L ∗·Mauch die einzige Lösung von (120).
Beweis. Wir zeigen X⊇L n·Mfür alle n∈N. (n=0) Da nun X⊇M (aufgrund
von (120)), und L 0·M={ε}· M=M, gilt die Behauptung. (n>0) Sei⃗x∈ L n·M.
Dann ist⃗x=⃗u·⃗v mit⃗u∈L und⃗v∈L n−1·M. Wir haben angenommen, dass X⊇
L n−1 M. Dann ist⃗v∈X, und wegen (120) auch⃗x∈X. Dies zeigt die Behauptung.
Nun zeigen wir noch, dass die Sprache L ∗·Mdie Gleichung löst.
(121)
(⋃
n∈N L n)· M
= ⋃ n∈N L n·M
= (⋃ n>0 L n·M ) ∪ L 0·M
= L·(⋃ n∈N L n·M ) ∪ M
= L·(L ∗·M)∪ M
Damit ist L ∗·Mdie kleinste Sprache, die die Gleichung (120) löst.
Sei nunεL und sei X irgendeine Lösung der Gleichung. Wir wollen zeigen,
dass X=L ∗·M. Wir nehmen an, dass dies nicht so ist. Dann ist aber, wie schon
gesehen, L ∗·MX. Sei also⃗x eine Zeichenkette kleinster Länge aus X, für die