Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Abbildung 2: Mengen als Graphen II
{♠,{♥}}
{♠,∅}
{∅}
{♥}
∅
♦ ♥
♠ ♣
wirklich. Es gibt nämlich ungeheuer viele Folgen von Zahlen, die so anfangen
wie die oben genannte. Woher wissen wir denn jetzt, welche von ihnen gemeint
ist? Um Fragen solcher Art auszuschließen, führen wir folgende Schreibweise ein.
Definition 2.2 (Komprehension) Es seiϕ(x) eine Eigenschaft. Dann bezeichnet
{x :ϕ(x)} diejenige Menge, deren Gegenstände genau diejenigen sind, dieϕerfüllen.
Das kann man auch formal wie folgt aufschreiben:
(3) (∀y)(y∈{x :ϕ(x)}↔ϕ(y))
Man liest das in etwas so: “Für alle y gilt: genau dann ist y in der Menge aller x, die
ϕ erfüllen, wenn yϕerfüllt.” Inhaltlich sollte das klar sein. Mit anderen Worten:
Element der Menge{x :ϕ(x)} zu sein heißt nichts Anderes, alsϕzu erfüllen. Also
haben wir jetzt die Möglichkeit, wie folgt zu schreiben.
(4) P :={x : x ist Primzahl}
Natürlich setzt dies voraus, dass der Begriff “ist Primzahl” eindeutig erklärt ist.
Habe ich eine Definition des Begriffs (etwa den, dass die Zahl genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und die Zahl selbst) so kann ich diese natürlich ebensogut benutzen.
(5) P={x : x hat genau 2 Teiler}