Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Bevor wir zur Kryptoanalyse der Vigenère-Chiffre kommen, benötigen wir eine
Definition. Sei X = x 1 x 2 · · · ein Text über A. Für r, s ∈ N wird
X r,s = x r x r+s x r+2s x r+3s · · ·
Teiltext von X mit Beginn r und Sprungweite s genannt. Geht Y aus
X durch eine s-Vigenère-Chiffrierung mit Schlüssel (k 1 , · · · , k s ) hervor, so ist
Y r,s ein Caesar-Chiffrat von X r,s : Jeder Buchstabe in X r,s ist mit der selben
Rotationsabbildung verschlüsselt, und zwar mit rot kr .
Beispiel: Sei X = KLEOP AT RAIST KOENIGIN. Die Teiltexte X 1,3 , X 2,3 ,
X 3,3 kann man gewinnen, in dem man den Text X “schlangenförmig” in s = 3
Zeilen schreibt:
Verschlüsselt man X mit k = (1, 2, 3)
X 1,3 = K O T I K N I
X 2,3 = L P R S O I N
X 3,3 = E A A T E G
Klartext K L E O P A T R A I S T K O · · ·
⊕ Schlüssel 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 · · ·
Geheimtext L N H P R D U T D J U W L Q · · ·
so sieht man, daß X i,3 mit k i verschlüsselt wird.
1.3 Kryptoanalyse der Vigenère-Chiffre durch
Häufigkeitsanalyse
Nehmen wir an, der Geheimtext Y = y 1 · · · y N ist mit dem s-Vigenère-Verfahren
verschlüsselt worden, wobei die Schlüssellänge s bekannt und viel kleiner 12 als
N ist. Wir wollen den Schlüssel (k 1 , · · · , k s ) bestimmen.
In einer natürlichen Sprache kommen die Buchstaben nicht mit der gleichen relativen
Häufigkeit vor. Z.B. ist in hinreichend langen deutschen Texten (und auch
in Teiltexten von deutschen Texten) E der häufigste Buchstabe (rel. Häufigkeit
ca. 13%) gefolgt von N (7.5%) und I (6%). Diesen Umstand macht man sich zu
Nutze.
Man ermittelt die Teiltexte Y 1,s , · · · , Y s,s zur Sprungweite s. Jedes Zeichen des
Teiltextes Y r,s ist mit der selben Shift-Abbildung rot kr verschlüsselt worden.
Wenn nun x der häufigste Buchstabe in Y r,s ist, so wird vermutlich x = rot kr (E)
gelten und aus einer solchen Gleichung läßt sich k r bestimmen: Ist z.B. G der
häufigste Buchstabe in Y 1,s , so würde ich vermuten, dass k 1 = 2 gilt, denn G
kommt im Alphabet 2 Positionen nach E. Wenn in Y 2,s der häufigste Buchstabe
D ist, so legt das den Verdacht k 2 = 25 nahe. So fortfahrend kann man
versuchen, den gesamten Schlüssel zu gewinnen.
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12 vielleicht s = 5 und N = 200
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