Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Berechnung des Jacobi-Symbols (also insbesondere ein Test, ob [a] p (a ∈ Z) ein
Quadrat in F p ist) und für das Ziehen der Wurzel aus [a] p , falls [a] p ∈ F ×2
p . Dies
wird z.B. im Public-Key-Verfahren von Rabin angewendet. Man kann sich fragen,
ob ein ähnliches Gesetz für höhere Potenzreste gilt. Diese Frage wurde erst
in den 1960er Jahren im Rahmen der sogenannten Klassenkörpertheorie geklärt.
Eine Behandlung dessen würde den Rahmen dieser Vorlesung sprengen.
Wir verzichten auf den Beweis von 6.2.2 und 6.2.1 Vorher wollen wir Anwendungen
des Reziprozitätsgesetzes diskutieren.
Beispiel: 101 ist eine Primzahl. Ist [79] 101 ∈ F × 101 ein Quadrat? Um dies zu
beantworten berechnen wir ( 79
101)
. Es gilt
( )
( ) ( )
79
101 101
= (−1) 78·100/4 = +
101
79 79
nach dem Reziprozitätsgesetz. Da 101 = 22 mod 79 gilt folgt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
101 22 2 11 11
= =
= + .
79 79 79 79 79
Im letzten Schritt haben wir den Ergänzungssatz verwendet; beachte 79 =
−1 mod 8. Weil 11 und 79 ungerade sind, dürfen wir wieder das Reziprozitätsgesetz
anwenden:
( 11
79
)
( ) 79
= (−1) 10∗78/4 = −
11
( ) ( 79 2
= − .
11 11)
Im letzten Schritt haben wir 79 = 2 mod 11 verwendet. Da 11 = 3 mod 8 gilt,
liefert der Ergänzungssatz
( 2
− = (−1)(−1) = +1.
11)
Insgesamt ergibt sich ( 79
101)
= +1, d.h. [79]101 ist ein Quadrat. □
Algorithmus 6.2.3 (Algorithmus für Jacobi-Symbole)
( Eingabe: a ∈ Z, b ∈ N mit b ungerade.
a
)
b soll berechnet werden.
Initialisiere: s := 1.
if(a < 0, a := |a|; s := (−1) (b−1)/2 )
(Nun a, b > 0, b ungerade.)
while(a /∈ {0, 1},
Berechne q, r mit a ÷ b = q Rest r, r ≥ 0.
a := r.
if (2 | a und a > 1 schreibe a = 2 t u mit u ungerade; a := u, s := ((−1) (b2 −1)/8 ) t s).
(Nun a ∈ {0, · · · , b} ungerade.)
if (a > 1, s := (−1) (a−1)(b−1)/4 s; vertausche a und b)
87