Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Elementen 0, 1 ∈ R derart, dass folgendes gilt: (R, +, 0) ist eine kommutative
Gruppe, (R, ·, e) ist ein kommutatives Monoid und es gilt das
Distributivgesetz x(y + z) = xy + xz für alle x, y, z ∈ R.
2. Sei R ein Ring. Dann hat jedes Element x ∈ R eine inverses Element
(−x) bez. + mit x+(−x) = 0. Ein Element x ∈ R braucht im allgemeinen
aber kein Inverses bezüglich · haben; die Menge
R × := {x ∈ R | x hat ein multiplikatives Inverses}
kann viel kleiner sein als R. Es gilt immer 1 ∈ R × und (R × , ·, 1) ist immer
eine Gruppe. Diese Gruppe wird Einheitengruppe von R genannt und
die Elemente von R × heißen Einheiten. Das multiplikative Inverse einer
Einheit x ∈ R × wird mit x −1 bezeichnet; die Nicht-Einheiten haben per
Definition kein multiplikatives Inverses!
3. Ein Ring R heißt Integritätsring, wenn für x, y ∈ R aus xy = 0 schon
x = 0 oder y = 0 folgt und 0 ≠ 1 gilt.
4. Ein Ring K wird Körper genannt, wenn jedes von 0 verschiedene Element
eine Einheit ist und 0 ≠ 1 gilt, d.h. wenn K × = K \ {0} gilt.
Bemerkung 2.1.3 In einem Ring gilt immer 0x = 0. (Denn 0x + 0x = (0 +
0)x = 0x und wenn man −0x zu dieser Gleichung addiert, so erhält man 0x =
0.)
In einem Integritätsring gilt die Kürzungsregel ax = ay, a ≠ 0⇐x = y. (Denn
aus ax = ay folgt a(x − y) = 0 und wg. a ≠ 0 muß dann (x − y) = 0, d.h.
x = y gelten.) In einem beliebigen Ring braucht die Kürzungsregel nicht zu
gelten, außer wenn a eine Einheit ist.
Beispiel:
1. Wenn 0 = 1 in einem Ring R gilt (dies ist ein unnatürlicher Extremfall),
dann muss x = 1x = 0x = 0 für alle x ∈ R gelten; d.h. R = {0} besteht
nur aus dem einen Element 0, es gilt 0 + 0 = 0, 0 · 0 = 0 und 0 fungiert
gleichzeitig als Einselement. Dieser Ring R = {0} wird als Nullring bezeichnet.
Per Definition wird der Nullring weder als Integritätsring noch
als Körper angesehen.
2. Die ganzen Zahlen Z bilden einen Integritätsring, der aber kein Körper
ist. Wegen 1 · 1 = 1 und (−1)(−1) = 1 sind 1 und −1 Einheiten. Weitere
Einheiten gibt es nicht. (Wenn die Gleichung xy = 1 mit ganzen Zahlen
xy ∈ Z gilt, dann folgt |x||y| = 1 und |x|, |y| sind sogar natürliche Zahlen
≥ 1. Wäre |x| ≥ 2 oder |y| ≥ 2, so wäre |x||y| ≥ 2 zu groß. Daher muss
|x| = 1 gelten, und das bedeutet x ∈ {1, −1}. ) Die Einheitengruppe von
Z ist also Z × = {1, −1}. Der Ring Z steht im Zentrum des Interesses der
elementaren Zahlentheorie.
3. Q, R und C sind Bespiele von Körpern. Es gilt also Q × = Q \ {0}. Z.B.
hat 2 in Q ein multiplikatives Inverses 2 −1 = 1 2 in Q, aber 1 2
/∈ Z. Somit
ist 2 eine Einheit in Q aber eine Nicht-Einheit in Z.
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