Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Arbeiten mit Kongruenzen ist es rechentechnisch günstig (aber nicht Pflicht)
bei jedem Teilschritt zum kleinsten Repräsentanten überzugehen.
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Wir geben ein weiteres Beispiel, da es an dieser Stelle leicht zu anfänglichen
Verständnisschwierigkeiten kommen kann.
Beispiel: Die Rechnung
13 · (11 + 12) = 3 · (1 + 2) = 9 mod 5Z
ist völlig korrekt. Es ist bei solchen Rechnungen üblich (aber nicht Pflicht)
beim Endergebnis zum kleinsten Repräsentanten überzugehen, d.h. bei obiger
Rechnung noch 9 = 4 mod 5 anzufügen.
Der Autor fühlt sich an das Bruchrechnen erinnert. Die Rechnung
1
11 (1 3 + 1 8 ) = 1 33 + 1 88 + 33
=
88 33 · 88 = 121
2904
zeugt zwar nicht von besonderem Geschick im Umgang mit Zahlen, aber sie ist
121
völlig korrekt. Man würde wohl üblicherweise noch kürzen:
2904 = 1 24
; aber das
ist kein Muß.
Beim Bruchrechnen kann es manchmal geschickt sein, geeignet zu erweitern.
Beim Rechnen mit (oder bei Beweisen zu) Kongruenzen kann durchaus einmal
ein Teilschritt der Form 4 = 99 mod 5Z vorkommen. a = b mod NZ ist per
Definition nur eine Aussage, die wahr oder falsch ist, je nachdem, ob b−a ∈ NZ
oder b − a /∈ NZ gilt.
Sei (G, +) eine abelsche Gruppe und I ⊂ G eine Untergruppe. Wir verfolgen nun
das Ziel, eine neue abelsche Gruppe G/I zu konstruieren, in der das Modulo-
Rechnen stattfindet. Jede prinzipielle Aussage über abelsche Gruppen soll eine
Aussage über das Modulo-Rechnen liefern.
Für a ∈ G setzen wir 4 [a] I := a + I := {a + x|x ∈ I} - dies ist die Teilmenge
von G, die aus denjenigen Elementen besteht, die gleich a modulo I sind: [a] I =
{y ∈ G | y = a mod I}. Mit anderen Worten: [a] I ist die Äquivalenzklasse von a
bezüglich der Äquivalenzrelation − = − mod I. Man nennt [a] I die Restklasse
von a modulo I. Offenbar gilt a ∈ [a] I .
Bemerkung 2.4.3 Sei a, b ∈ G.
1. Genau dann gilt [a] I = [b] I , wenn a = b mod I gilt. Wenn a ≠ b mod I
gilt, dann sind die Mengen [a] I und [b] I disjunkt, d.h. [a] I ∩ [b] I = ∅.
2. Die Abbildung ϕ : I → [a] I , x ↦→ x + a ist bijektiv.
Beweis: Zu 1.) Sei a ≠ b mod I. Wäre x ∈ [a] I ∩ [b] I , so folgte x = a mod I
und x = b mod I, also a = x = b mod I. Widerspruch. Ist aber a = b mod I,
4 Die Bezeichnung [a] I ist nicht Standardterminologie, wohl aber die (längere) Bezeichnung
a + I; andere Autoren verwenden a oder [a] oder · · ·.
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