Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Beispiele: Das klassische Beispiel ist sicher die 26-elementige Menge
A = {A, B, C, D, E, F, G, · · · , X, Y, Z},
evtl. ergänzt um Kleinbuchstaben, Umlaute und Satzzeichen. F QAQST ist ein
Beispiel für einen Text der Länge 6 über dem Alphabet A.
In technischen Anwendungen kommt das Alphabet A := {0, 1} häufig vor. Ein
Text über diesem Alphabet ist ein Bitvektor. Z.B. ist 01001010 ein Text der
Länge 8 über {0, 1}.
Der ASCII-Zeichensatz ist ein Beispiel für ein Alphabet mit 256 Elementen.
Ein Private-Key-Verfahren ist ein Tupel (P, C, K, E, D), das aus folgenden
Objekten besteht:
P die Menge aller möglichen / erlaubten Klartexte,
C die Menge aller möglichen Geheimtexte,
K die Menge aller möglichen Schlüssel,
E die Verschlüsselungs-Abbildung K × P → C,
D die Entschlüsselungs-Abbildung K × C → P.
Axiom: Es muß gelten:
D(k, E(k, X)) = X ∀k ∈ K ∀X ∈ P.
Die Funktionen E und D sollten leicht auf einem Computer zu implementieren
sein. Es gibt gute Private-Key-Verfahren (z.B. IDEA, Triple-DES oder
AES), bei denen die Laufzeiten für Ver- bzw. Entschlüsselung auch bei großen
Datenmengen vertretbar klein bleiben. Der Schlüssel ist bei einem Private-
Key-Verfahren unbedingt geheim zu halten. Wenn nur ein nicht abhörsicherer
Kanal zur Verfügung steht, so ist die Schlüsselvereinbarung 1 das Hauptproblem.
Natürlich sollte man niemals den Schlüssel vor der Kommunikation
unverschlüsselt über den unsicheren Kanal vereinbaren.
Einen Ausweg liefern die Public-Key-Verfahren. Wir sagen hier nur so viel:
Mit einem solchen Verfahren kann man über einen nicht abhörsicheren Kanal
kommunizieren, ohne vorher die Schlüsselvereinbarung auf anderem Wege
durchgeführt zu haben. Dabei wird vom Empfänger ein Teil des Gesamtschlüssels
öffentlich gemacht, der zum Verschlüsseln von Nachrichten genügt, nicht aber
zum Entschlüsseln. Die Details werden wir später nachreichen. Die Schlüssellängen
und die Rechenzeit für Ver- und Entschlüsselung sind hier in aller Regel wesentlich
höher als bei einem guten Private-Key-Verfahren. Public-Key-Verfahren
sind also nicht für die Übertragung großer Datenmengen geeignet.
Wenn große Datenmengen übertragen werden sollen, dann behilft man sich gerne
so: Mit einem Public-Key-Verfahren wird nur ein Schlüssel (verschlüsselt)
übermittelt, und dann wird mit diesem Schlüssel eine Private-Key-Sitzung durchgeführt.
Wir erwähnen noch zwei Formen der Kryptoanalyse:
1 Man will vielleich mit Personen per E-Mail kommunizieren, die man noch nie persönlich
getroffen hat.
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