Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Kapitel 4
Diskreter Logarithmus
4.1 Primitivwurzeln und diskreter Logarithmus
Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe. Für x ∈ G sei 〈x〉 = {x k : k ∈ Z}. Wenn nun
〈x〉 = G gilt, dann wird x ein Erzeuger von G genannt. Das ist genau dann
der Fall, wenn jedes Element in G eine Potenz von x ist. Nicht jede Gruppe hat
einen Erzeuger. Wenn in G ein Element existiert, das Erzeuger von G ist, dann
nennt man G eine zyklische Gruppe.
Sei nun G endlich. ord(x) ist die kleinste positive Zahl mit x ord(x) = 1. Es gilt,
ohne Mehrfachauflistung von Elementen geschrieben, 〈x〉 = {1, x, · · · , x ord(x)−1 }.
Ferner gilt ord(x) = |〈x〉| und nach 2.7.1 ist ord(x) immer ein Teiler von |G|.
Ferner gilt für k ∈ Z: Genau dann ist x k = 1, wenn k ∈ ord(x)Z. Für k ∈ Z sei
[k] := [k] ord(x) ∈ Z/ord(x)Z die entsprechende Restklasse. Dann hat es Sinn
zu definieren.
x [u] := x u
für [u] ∈ Z/ord(x)Z
Offenbar ist x ein Erzeuger von G genau dann, wenn ord(x) = |G| gilt.
Beispiel: Wir betrachten eine “Potenzierungstafel” für die 6-elementige Gruppe
G := F × 7 . Sei [a] := [a] 7.
k 0 1 2 3 4 5 6
[1] k [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
[2] k [1] [2] [4] [1] [2] [4] [1]
[3] k [1] [3] [2] [6] [4] [5] [1]
[4] k [1] [4] [2] [1] [4] [2] [1]
[5] k [1] [5] [4] [6] [2] [3] [1]
[6] k [1] [6] [1] [6] [1] [6] [1]
Die linke Spalte von Einsen ergibt sich, da x 0 = [1] für alle x ∈ G gilt. Die
rechte Spalte von Einsen war nach dem Satz von Fermat zu erwarten; es gilt
x |G| = [1] für alle x ∈ G und |G| = 6.
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