Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Beweis: Sei n := ord(x). Offenbar gibt es Zahlen k ′ ∈ N, n ′ ∈ Z mit gk ′ = k
und gn ′ = n. Ferner gibt es u, v ∈ Z mit g = uk + vn nach 2.2.7. Es ist
ord(x k ) = n ′ zu zeigen. Man sieht leicht, daß (x k ) n′ = x k′ gn ′ = x ord(x)k′ = 1.
Daher gilt ord(x k ) | n ′ . Angenommen n ′′ ∈ {1, · · · , n ′ − 1} wäre ein Teiler von
n mit (x k ) n′′ = 1. Dann folgte
1 = x ukn′′ = x (g−vn)n′′ = x gn′′ (x nvn′′ ) −1 = x gn′′
und gn ′′ wäre kleiner als gn ′ = n. Widerspruch.
Sei n = ord(x) teilerfremd zu m := ord(y). Offenbar gilt (xy) nm = (x n ) m (y m ) n =
1. Sei p ein beliebiger Primteiler von nm. Nach obigem Satz 4.1.1 reicht es
(xy) nm/p ≠ 1 zu zeigen. O.E. gilt p | n. Weil n zu m teilerfremd ist, kann
p kein Teiler von m sein und außerdem muß ord(x m ) = n gelten. Also gilt
xy nm/p = (x m ) n p (y m ) n p = (x m ) n p ≠ 1. □
Folgerung 4.1.3 a) Wenn k ein Teiler von ord(x) ist, dann ist ord(x k ) =
ord(x)/k.
b) Wenn k zu ord(x) teilerfremd ist, dann gilt ord(x k ) = ord(x).
c) Genau dann ist x ein Erzeuger von G, wenn x |G|
p
p von |G| gilt. (Dies folgt aus 4.1.1.)
≠ 1 für jeden Primteiler
d) Wenn G zyklisch und x ∈ G ein Erzeuger von G ist, dann ist {x u |u ∈
(Z/|G|Z) × } die Menge aller Erzeuger von G. D.h. die anderen Erzeuger
von G sind von der Form x v mit einer Zahl v ∈ {1, · · · , |G|}, die zu |G|
teilerfremd ist. Weitere Erzeuger gibt es nicht. (Dies folgt unmittelbar aus
obigem Satz.)
e) Insbesondere gilt: Eine zyklische Gruppe G hat genau ϕ(|G|) = |(Z/|G|Z) × |
Erzeuger.
Wir kommen zu dem zentralen Ergebnis dieses Abschnittes.
Satz 4.1.4 Sei k ein Körper und (G, ·) eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe
(k × , ·). Dann ist G zyklisch.
Beweis: Sei x ∈ G ein Element von maximaler Ordnung und d := ord(x), d.h.
mit d = ord(x) und d ≥ ord(y) ∀y ∈ G.
Widerspruchsannahme: G ist nicht zyklisch.
Dann gilt d < |G|. Das Polynom X d − 1 hat höchstens d Nullstellen in dem
Körper k. Daher muß es ein y ∈ G mit y d − 1 ≠ 0, d.h. mit y d ≠ 1 geben.
Dann ist aber ord(y) kein Teiler von d. Sei g ∈ ggT (ord(y), d) mit g ≥ 0. Dann
wird z := y g zu d teilerfremde Ordnung ord(z) = ord(y)/g > 1 haben. Es folgt
ord(xz) = ord(x)ord(z) > ord(x) im Widerspruch zur Wahl von x. □
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