Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

von Phase a) einklinken und c ′ 2 := c e O
1 an Alice schicken, bevor Bob antwortet.
Wenn Alice davon überzeugt ist, daß die Nachricht c ′ 2 von Bob
kommt, dann wird sie c ′ 3 := (c ′ 2) d A
= m e Ae O d A
= m e O
an Bob senden.
Oskar hört das ab und berechnet die Nachricht (c ′ 3) d O
= m.
Man sollte das Massey-Omura-Verfahren also immer mit einem guten Signierungsverfahren
kombinieren.
5.3 ElGamal-Verschlüsselung
Sei (G, g) eine Einweggruppe 8 . Sei U eine Menge von Usern (evtl. nur zwei).
Die Einweggruppe (G, g) sei öffentlich bekannt. Jeder User X wählt zufällig ein
d X ∈ {2, · · · , ord(g) − 1} (nicht zu klein) und berechnet E X := g d X
∈ G.
d X bleibt geheim (nur User X kennt d X ) und E X wird öffentlich gemacht.
Dann gilt d X = Log g (E X ), aber es ist technisch unmöglich den Logarithmus
zu ziehen. Somit läßt sich der geheime Schlüssel d X nicht aus dem öffentlichen
Schlüssel E X errechnen.
Beispiel: Die Gruppe (G, g) und die öffentlichen Schlüssel könnten auf einer gemeinsamen
Homepage der Usergroup eingestellt werden. Wir geben ein Beispiel
mit (zu) kleinen Zahlen:
X E X
ALICE [49]
BOB [67]
OSKAR [12]
· · · · · ·
Der Nachrichtenraum bei dem ElGamal-Verfahren ist G. Durch das folgende
Protokoll kann eine Nachricht m ∈ G abhöhrsicher von Alice zu Bob geschickt
werden:
.
□
a) A wählt (gleichverteilt) eine Zufallszahl k ∈ {2, · · · , ord(g) − 1}. Sie berechnet
(c 1 , c 2 ) = (g k , mE k B ).
b) B erhält (c 1 , c 2 ) und berechnet c −d B
1 c 2 . Dadurch erhält der die Nachricht
m zurück, denn
c −d B
1 c 2 = g −kd B
mE k B = g −kd B
mg d Bk = m.
8 Eine solche Gruppe kann mit 5.1.1 erzeugt werden.
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