Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Satz 5.1.2 (Primzahlen in arithmetischen Progressionen) Sei s zu N
teilerfremd. Dann gibt es in der arithmetischen Progression
unendliche viele Primzahlen.
N, N + s, N + 2s, N + 3s, · · ·
Der Erwartungswert für die Anzahl der Durchläufe der while-Schleife in obigem
Algorithmus ist dann 2
b
log(N)
ϕ(b) .
Wenn überdies N eine 1000-Bit-Zahl ist, dann wird stepnextprime spätestens
nach ein paar tausend Schritten eine Primzahl finden.
Sei im folgenden random(b) eine ≈ b-Bit-Zufallszahl. Der Aufruf
l := stepnextprime(random(b), 1)
wird dann eine ≈ b-Bit-Zufallsprimzahl erzeugen. N := 1+random(B−b)·l wird
dann eine B-Bit-Zufallszahl sein, die N = 1 mod l erfüllt. p := stepnextprime(N, l)
ergibt eine zufällige Primzahl p, die p = 1 mod l erfüllt. Dann gilt l | p−1 = |F × p |.
Da F × p zyklisch ist, muß es in F × p genau ϕ(l) = l − 1 Elemente der Ordnung l
geben. Um das eingangs gestellte Problem vollständig zu lösen, muss nur noch
ein solches Element g der Ordnung l gefunden werden. Dafür kann man den
folgenden Satz verwenden.
Satz 5.1.3 Sei p prim und l ein Primteiler von p − 1. Sei z ∈ F × p
g := z (p−1)/l . Wenn g ≠ [1] gilt, dann gilt ord(g) = l.
beliebig. Sei
Beweis: Nach dem Satz von Fermat gilt g l = z p−1 = [1] und das impliziert
ord(g) | l. Da l prim ist, muß ord(g) ∈ {1, l} gelten. Wenn g ≠ 1, dann folgt also
ord(g) = l.
□
Für ein willkürlich gewähltes Element z ∈ F × p wird in aller Regel z p−1
l
ord(z) = l gelten. Wenn z p−1
l
sein. Dieses Polynom hat p−1
l
willkürlich gewähltes Element z die Gleichung z p−1
l
(Also z.B. ≈ 2 −300 , wenn l eine 300-Bit-Zahl ist.)
≠ [1], also
= [1] gilt, dann wird z Nullstelle von Z p−1
l − [1]
Nullstellen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein
= [1] erfüllt ist also nur 1/l.
Der folgende Algorithmus stellt eine Lösung des eingangs gestellten Problems
dar.
Algorithmus 5.1.4 (Schlüsselerzeugung)
Eingabe: b < B.
l := stepnextprime(random(b), 1) (Dann ist l eine ≈ b-Bit-Zufallsprimzahl.)
2 ϕ steht für die Eulersche ϕ-Funktion.
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