Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

nach 2.6.1, Teil 1.
Algorithmus 2.6.4 (Euklidischer Algorithmus zum chinesischen Restsatz)
Schritt 1: Mit dem euklidischen Algorithmus berechnet man u 1 , u 2 ∈ Z mit
u 1 n 1 + u 2 n 2 = 1. (Dies ist möglich da n 1 zu n 2 teilerfremd ist.)
Schritt 2: Setze x := a 1 u 2 n 2 + a 2 u 1 n 1 .
Gib aus: “x erfüllt die Kongruenzen x = a 1 mod n 1 , x = a 2 mod n 2 .”
Warum funktioniert dieser Algorithmus? Aus u 1 n 1 + u 2 n 2 = 1 folgt u 1 n 1 =
∗∗
1 mod n 2 (∗) und u 2 n 2 = 1 mod n 1 (∗∗). Daher gilt x = a 2 u 1 · 0 + a 1 u 2 n 2 =
∗
a 1 mod n 1 und x = a 2 u 1 n 1 = a2 mod n 2 , d.h. x erfüllt die gewünschen Kongruenzen.
Man beachte: Wenn verschiedene Kongruenzen zu der selben Eingabe (n 1 , n 2 )
gelöst werden sollen, dann muß Schritt 1 zur Berechnung der u i nur einmal
ausgeführt werden.
Beispiel: Wir lösen das System
x = 5 mod 7, x = 9 mod 11.
1 ∈ ggT(7, 11) hat die Darstellung 1 = (−3)·7+2·11. Also muß x ′ := 9·(−3)·7+5·
2·11 = −79 eine Lösung sein; Jede Zahl x = x ′ mod 77 ist ebenfalls eine Lösung.
Also ist x := 75 die kleinste nicht-negative Lösung (beachte: −79 = 75 mod 77)
und die Lösungsmenge ist
L = {y : y = 75 mod 77} = {75, 75 ± 77, 75 ± 2 · 77, · · ·}.
2.7 Der kleine Satz von Fermat
Sei (G, ·) eine (multiplikativ geschriebene) endliche, abelsche Gruppe und x ∈ G.
Wir setzen
〈x〉 := {x k | k ∈ N} = {1, x, x 2 , x 3 , · · ·} ⊂ G.
Da G endlich war, muß diese Teilmenge 〈x〉 von G ebenfalls endlich sein. Somit
müssen in der Liste 1, x, x 2 , · · · Wiederholungen vorkommen, d.h. es muß
natürliche Zahlen n < m mit x n = x m geben. Daraus folgt aber x m−n = 1. Sei
ord(x) die kleinste positive natürliche Zahl mit x ord(x) = 1. Diese Zahl ord(x)
wird die Ordnung von x genannt.
Sei k ∈ Z. Wir dividieren mit Rest: k÷ord(x) = q Rest r, d.h. k = qord(x)+r mit
r ∈ {0, 1, · · · , ord(x) − 1}. Daraus folgt x k = (x ord(x) ) q x r = x r . (Insbesondere
gilt: Genau dann ist x k = 1, wenn k durch ord(x) teilbar ist.) Jedes Element
von 〈x〉 ist also von der Form x k mit k ∈ {0, 1, · · · , ord(x) − 1}. In der Tat gilt
also
〈x〉 = {1, x, x 2 , · · · , x ord(x)−1 },
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