Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

werden. Dann benutzt man die Formel
x n = x a0 (x 2 ) a1 (x 4 ) a2 (x 8 ) a3 · · · (x 2m ) am .
Die dabei auftretenden Ausdrücke x 2k können durch k-maliges Quadrieren berechnet
werden. Bei dieser Berechnung von x 2k fallen nur k und nicht 2 k − 1
Multiplikationen an; das ist der entscheidende Vorteil!
Algorithmus 3.1.1 (Square und Multiply Algorithmus)
Eingabe: x ∈ G, n ∈ N.
Initialisierung: y := 1.
While n ≠ 0 do
Berechne a ∈ {0, 1}, q ∈ N mit n ÷ 2 = q Rest a.
y := y ∗ x a , x := x ∗ x, n := q.
Gib aus: y.
Man beachte, dass bei jeder Schleife der Wert von n absinkt, während der Wert
y · x n gleichbleibt. Insgesamt treten bei Square and Multiply ca. 2 log 2 (n) Multiplikationen
in G auf, während es bei dem naiven Algorithmus n − 1 Multiplikationen
wären. Wieviel Laufzeit eine einzelne Multiplikation kostet, hängt
natürlich stark von G ab. Wenn z.B. eine einzelne Multiplikation in G eine Sekunde
dauert, dann dauert die Berechnung von x 222 mit Square and Multiply
ca. 22 Sekunden, während sie mit dem naiven Algorithmus ca 2 22 = 4194304
Sekunden, d.h. mehr als ein Jahr Laufzeit benötigen würde.
3.2 Der Miller-Rabin-Primzahltest
Das RSA-Verfahren beruht letzten Endes auf folgendem Phänomen:
Es ist technisch kein Problem, in Sekundenschnelle zwei große Primzahlen p und
q zufällig zu wählen, die jeweils ein paar hundert Dezimalstellen lang sind, und
das Produkt N := pq zu bilden.
Es ist aus algorithmischer Sicht ein extrem hartes Problem, ein solches Produkt
N in seine Primfaktoren zu zerlegen. Wer nur N, nicht aber p und q kennt, kann
also p und q nicht mit vertretbarem Zeitaufwand berechnen.
In diesem Abschnitt geht es um die Erzeugung großer Primzahlen. Dieses Problem
läßt sich leicht auf Primzahltests zurückführen. Ein Primzahltest ist
ein Algorithmus, der bei Eingabe einer Zahl N ∈ N mit “prim” oder “zusammengesetzt”
antwortet, je nach dem, ob N eine Primzahl ist oder nicht.
Ein probabilistischer Primzahltest antwortet auf die Eingabe N ∈ N mit
“wahrscheinlich prim” oder mit “zusammengesetzt”. Wenn die Antwort “zusammengesetzt”
lautet, dann ist die Zahl N sicher zusammengesetzt. Die Fehlerwahrscheinlichkeit
des probabilistischen Tests ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
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