Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

gilt. Sei Z(N) die Menge der Solovay-Strassen-Zeugen (in diesem Abschnitt
kurz: Zeugen) gegen die Primalität von N. Aus dem Satz von Euler 6.1.3 folgt:
Wenn Z(N) ≠ ∅, dann ist N sicher zusammengesetzt. Oder anders gesagt: Wenn
N prim ist, dann gilt Z(N) = ∅.
Lemma 6.3.1 Wenn N zusammengesetzt ist, dann gibt es eine zu N teilerfremde
Zahl a ∈ Z(N).
Beweis. Siehe [So].
Satz 6.3.2 Wenn N zusammengesetzt ist, dann ist |Z(N)| ≥ N 2 .
Beweis. Sei
U = {[a] : 1 ≤ a ≤ N − 1 zu N teilerfremd und a /∈ Z(N).
Dies ist eine Untergruppe von (Z/N) × . Nach dem Lemma gilt U ≠ (Z/N) × .
Da |U| ein Teiler von ϕ(N) sein muß, folgt |U| ≤ ϕ(N)/2 ≤ N/2. Daher gilt die
Behauptung.
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Zusammenfassend kann man sagen:
a) Wenn N prim ist, dann ist Z(N) = ∅.
b) Wenn N zusammengesetzt ist, dann sind mindestens 50 Prozent der Zahlen
im Bereich {0, · · · , N − 1} Zeugen gegen die Primalität von N.
Algorithmus 6.3.3 (Solovay-Strassen-Test)
Eingabe: N ungerade und ein Steuerparameter t, der die Fehlerwahrscheilichkeit
regelt.
Man testet für t Zufallszahlen im Bereich a ∈ {0, · · · , N − 1}, ob a ∈ Z(N).
Wird dabei ein Zeuge gegen die Primalität von N gefunden, gib aus “N ist
zusammengesetzt”.
Wird dabei kein Zeuge gegen die Primalität von N gefunden, gib aus “N ist
wahrscheinlich prim”.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit dieses Monte-Carlo-Verfahrens ist ≤ 2 −t .
6.4 Das Rabin-Verfahren
Sei R ein Ring und a ∈ R. Wir bezeichnen mit sqrt R (a) die Lösungsmenge der
Gleichung X 2 = a über R. Wenn R ein Körper ist, dann gilt |sqrt R (a)| ≤ 2, da
ein Polynom zweiten Grades über einem Körper höchstens zwei Nullstellen hat.
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