Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Algorithmus 6.2.6 (Algorithmus für Quadratwurzeln in F p )
Eingabe: p ≠ 2 prim, a ∈ F ×2
p ein Quadrat. Ferner muß zur Unterstützung des
Algorithmus ein Nicht-Quadrat b ∈ F × p eingegeben werden.
Berechne s, u mit u ungerade und p − 1 = 2 s u.
Berechne ζ := b u .
Berechne x := a u+1
2 ζ − log ζ (au )/2 mit Square and Multiply und Silver-Pohig-
Hellman.
Ausgabe: x ist eine Wurzel aus a.
Dies ist ein deterministischer Algorithmus mit polynomialer Laufzeit in der
Bitlänge von p.
Wie kommt man zu einem Nicht-Quadrat?
Algorithmus 6.2.7 (Algorithmus zur Konstruktion eines Nicht-Quadrates)
Eingabe: p ≠ 2 prim.
i := 2 ( )
i
while(
p
≠ −1, i:=i+1);
Die Jacobi-Symbole sind mit 6.2.3 berechnet werden.
Ausgabe: [i] p ist ein Nicht-Quadrat.
Da 50% der Elemente von F p Nicht-Quadrate sind, ist der Erwartungswert
für die Anzahl der Durchläufe der while-Schleife gleich 2. Die Jacobi-Symbole
können in Polynomialzeit berechnet werden. Daher hat dieser Algorithmus erwartete
Polynomialzeit in der Bitlänge von p.
Wir halten fest: Für ein Element a ∈ F p kann man in Polynomialzeit
entscheiden, ob a ein Quadrat ist, und in erwarteter Polynomialzeit
kann man ggfls. eine Wurzel aus a berechnen.
6.3 Der Solovay-Strassen Primzahltest
Wir erläutern in diesem Abschnitt einen probablistischen Primzahltest von Solovay
und Strassen, der alternativ zum Miller-Rabin-Test verwendet werden kann.
Dieser Primzahltest beruht auf dem Satz von Euler 6.1.3.
Sei N eine ungerade natürliche Zahl. Wir nennen eine Zahl a ∈ {1, · · · , N − 1}
einen Solovay-Strassen-Zeugen gegen die Primalität von N, falls 1 /∈
ggT (a, N) oder
(
a N−1 a
)
2 ≠ mod N
N
90