Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

von der Länge ca. 1024 Bit (d.h. ca. 300 Dezimalstellen) zu arbeiten. N hat
dann ca. 600 Dezimalstellen.
Alice wählt des weiteren eine zu ϕ(N) = (p − 1)(q − 1) (vgl. 2.6.3) teilerfremde
Zahl e ∈ {0, 1, · · · , ϕ(N) − 1}. Nach 2.5.1 ist e + ϕ(N)Z Z/ϕ(N)Z eine Einheit,
d.h. es existiert ein d ∈ {0, 1, · · · , ϕ(N) − 1} mit ed = 1 mod ϕ(N)Z. Alice
berechnet diese Zahl d mit dem euklidischen Algorithmus 2.5.3.
Von den bisher errechneten Daten (p, q, N, ϕ(N), e, d) macht Alice nun einen
Teil öffentlich (z.B. auf ihrer Homepage) und behält den anderen Teil für sich
(z.B. abgespeichert auf einem USB Stick).
Geheim bleibt p, q, ϕ(N), d, d.h. nur Alice (und nicht einmal Bob) kennt diese
Daten.
Öffentlich gemacht wird N und e. Insbesondere kennt Bob diese Daten; aber
auch jeder potentielle Angreifer kennt sie.
(N, e) ist der öffentliche Verschlüsselungsschlüssel (kurz: V-Schlüssel) und d ist
der geheime (nur Alice kennt ihn) Entschlüsselungsschlüssel (kurz: E-Schlüssel).
Übertragen werden Elemente von P := Z/NZ = {[0], · · · , [N−1]}. Wenn Bob die
Nachricht m ∈ Z/NZ an Alice übermitteln will, so berechnet er c := m e . Für
die Potenzierung kann der Square and Multiply Algorithmus 3.1.1 verwendet
werden. Bob übermittelt dann c.
Alice empfängt c = m e und berechnet c d (mit dem Square and Multiply Algorithmus).
Nach dem folgenden Satz ist c d = m; sie erhält also die ursprüngliche
Nachricht m zurück. Ein Angreifer Oskar, der den gesamten Dialog abhört, kann
m nicht durch die selbe Rechnung m = c d wie Alice ermitteln, weil er d nicht
kennt. Mehr dazu später.
Satz 3.3.1 Es gilt m ed = m.
Beweis: Nach 2.6.1 hat man einen bijektiven Ringhomomorphismus
f : Z/NZ → Z/pZ × Z/qZ
Sei (m 1 , m 2 ) := f(m). Es genügt m ed
1 = m 1 und m ed
2 = m 2 zu zeigen. (Daraus
folgt nämlich f(m ed ) = f(m) und das impliziert m ed = m, weil f injektiv ist.)
Wegen ϕ(N) = (p − 1)(q − 1) und ed = 1 mod ϕ(N)Z gibt es ein k ∈ N mit
ed = 1 + k(p − 1)(q − 1). Falls m 1 ∈ (Z/pZ) × = F × p \ {[0]} eine Einheit ist, so
gilt m p−1
1 = 1 nach dem kleinen Satz von Fermat 2.7.2. Daraus folgt
m ed
1 = m 1+k(p−1)(q−1)
1 = m 1 (m p−1
1 ) k(q−1) = m 1 · 1 k(q−1) = m 1 .
Falls m 1 = 0 in Z/pZ gilt, so hat man offensichtlich m ed
1 = m 1 . Also gilt in
jedem Fall m ed
1 = m 1 .
Völlig analog kann man zeigen, daß m ed
2 = m 2 gilt. □
52