Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

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an der UKW zustande.) Bei allgemeiner Grundstellung g kommt noch ein Versatz zwischen den Walzen hinzu. Sei ρ := rot 1 . Dann ist bei Walzlage p und Grundstellung g in dem Block von drei gewöhnlichen Walzen der Kontakt x ∈ A rechts mit dem Kontakt der UKW verbunden. R p,g (x) = ρ −g1 ω p1 ρ g1−g2 ω p2 ρ g2−g3 ω p3 ρ g3 (x) Wenn man nun Spannung an den Statoranschluß x ∈ A rechts anlegt, so kann Strom von dort durch den Satz von Rotoren, dann durch die UKW und dann noch einmal durch den Satz von Rotoren zurück zum Stator fließen. In der Tat ist also Statoranschluß x ∈ A mit Statoranschluß W p,u,g (x) = R −1 p,g ◦ ν u ◦ R p,g (x) verbunden, wenn p die Walzlage, g die Grundstellung und u die eingesetzte UKW ist. Das gesamte Bauteil realisiert also die Permutation W p,u,g . Satz 1.5.1 Die Permutation W p,u,g ist von der Zyklenstruktur (2, 2, · · · , 2), } {{ } 13−mal d.h. W p,u,g ist ein Produkt von 13 disjunkten Transpositionen. Insbesondere ist W p,u,g fixpunktfrei und involutorisch. Beweis: Die UKW-Permutation ν u ist ein Produkt von 13 disjunkten Transpositionen (siehe oben). Nach 1.4.3 muß “die mit R p,g konjugierte UKW” W p,u,g = νu Rp,g die selbe Zyklenstruktur wie ν u haben. Also ist auch W p,u,g ein Produkt von 13 disjunkten Transpositionen. Daher die Behauptung. □ Das Steckbrett Das zweite Hauptbauteil war das sogenannte Steckbrett. Auf diesem Steckbrett waren in zwei Zeilen je 26 doppelpolige Anschlüsse angebracht, die jeweils mit A bis Z beschriftet waren. Mitgeliefert waren einige doppelpolige Verbindungskabel. Mit diesen Kabeln konnte man Buchstabenpaare verbinden (im Jargon: steckern) und das Steckbrett hat die gesteckerten Buchstaben dann vertauscht. Anfangs wurden 6, später 10 Buchstabenpaare gesteckert. Wenn 10 Paare gesteckert sind, dann wirkt das Steckbrett wie ein Produkt von 10 disjunkten Transpositionen (und es hat demnach 6 Fixpunkte). 17
Schlüsselbucheinträge für die Enigma könnten ungefähr so ausgesehen haben: 13.Mai.1933 Walzlage: I, V, III UKW C Grundstellung: QKF (bzw. 16, 10, 5) Ringstellung: UXF (bzw. 20, 23, 5) Steckerverbindungen: AX CE UW BM NK LQ DO EP FY RT 12.Mai.1943 Walzlage: IV, II, V UKW B Grundstellung: DLV (bzw. 3, 11, 21) Ringstellung: WUC (bzw. 22, 20, 2) Steckerverbindungen: AD CE OL FP XZ SY BT GQ HJ NK . . . Das Steckbrett hat dann am 12.Mai.1933 die Permutation bewirkt. S = (AD)(CE)(OL)(F P )(XZ)(SY )(BT )(GQ)(HJ)(NK) Stromfluß durch die Enigma An das Steckbrett ist die Tastatur angeschlossen und das Steckbrett ist mit dem Satz von Walzen verbunden. Wenn eine Taste gedrückt wird, dann fließt Strom durch das Steckbrett, durch den Walzsatz, nocheinmal durch das Steckbrett und dann zurück in die Tastatur; eine andere Taste leuchtet dann auf. Wenn bei Walzlage p, UKW u, Grundstellung g und Steckbrettpermutation S die Taste x ∈ A gedrückt wird, dann leuchtet die Taste auf. E p,u,g,S (x) = S −1 W p,u,g S(x) Satz 1.5.2 Die Permutation E p,u,g,S ist ein Produkt von 13 Transpositionen. Insbesondere ist E p,u,g,S fixpunktfrei und involutorisch. Beweis: Nach 1.4.3 muß E p,u,g,S = W S p,u,g die selbe Zyklenstruktur wie W p,u,g haben und W p,u,g ist ein Produkt von 13 disjunkten Transpositionen nach 1.5.1 □ Fortschalten und Ringstellung Der eigentliche Clou der Maschine ist, daß sich die Rotoren bei jedem Tastenanschlag ähnlich einem (etwas perversen) Kilometerzähler weiterdrehen. Die anfangs eingestellte Grundstellung ändert sich also bei jedem Tastenanschlag. Dies macht die kryptologische Stärke der Maschine aus: Jeder Buchstabe wird durch eine andere Permutation verschlüsselt. Dadurch wird die Enigma weitgehend immun gegen Angriffe durch Häufigkeitsanalyse. Der rechte Rotor fungiert als schneller Rotor. Er dreht sich bei jedem Tastenanschlag um eine Position weiter. Der mittlere Rotor dreht sich (im Mittel) alle 18
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ereitgestellt. Dies ist wesentlich
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a) Ein Angreifer Oskar möchte auch
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Erzeugung der ElGamal-Signatur: Um
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Sei T (Trustcenter) ein User, desse
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( Für zwei Zahlen a, b ∈ Z mit a
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3. Für b, c ∈ N ungerade und u
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) /* Ende while if(a=0, s:=0); Ausg
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Algorithmus 6.2.6 (Algorithmus für
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Wir erinnern an die Hauptergebnisse
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Daraus 2 folgt, daß (∗) keine L
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schickt. Oskar überlegt sich, was
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