Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Wir erinnern an die Hauptergebnisse aus Abschnitt 6:
a) Für n ∈ Z und m > 0 ungerade läßt sich das Jacobi-Symbol ( n
m)
mit dem
Algorithmus ?? schnell (in Polynomzeit) berechnen.
(
b) Sei p ≠ 2 prim. Für a ∈ F p hat die Gleichung X 2 = a (∗) genau
( )
Lösungen. Z.B. hat (∗) keine Lösung genau dann, wenn = −1.
(
c) Sei p = 3 mod 4 und
a
p
a
p
a
p
)
+ 1
)
≠ −1. Dann ist X 2 = a lösbar und die Lösungsmenge
kann durch die Formel sqrt Fp
(a) = {a p+1
4 , −a p+1
4 } schnell berechnet
werden (Square and Multiply).
(
d) Auch im Fall p = 1 mod 4 und
a
p
)
≠ −1 kann sqrt Fp
(a) in Polynomzeit
berechnet werden; der Algorithmus dafür ist aber etwas komplizierter als
die Formel in c). Siehe 6.2.6 und 6.2.7.
Seien nun p ≠ q ungerade Primzahlen und N = pq. Wie berechnet man Wurzeln
in Z/N?
Berechnung von Wurzeln in Z/pq, wobei p und q bekannt sind.
Der chinesische Restsatz 2.6.1 liefert einen Isomorphismus
f : Z/N → F p × F q , [x] N ↦→ ([x] p , [x] q ).
f und f −1 sind schnell berechenbar mit dem euklidischen Algorithmus.
Zur Erinnerung: Sei ([a] p , [b] q ) ∈ F p × F q . Sei x ∈ {0, · · · , N − 1} die Lösung des
Systems
x = a mod p
x = b mod q
von Kongruenzen. Dann gilt [x] N = f −1 ([a] p , [b] q ).
Um X 2 = [a] N (∗) über Z/N zu lösen genügt es also (X 1 , X 2 ) 2 = ([a] p , [a] q )
über F p × F q zu lösen und das läuft auf die (nicht gekoppelten) Gleichungen
X1 2 = [a] p (∗∗ 1 ) über F p und
X2 2 = [a] q (∗∗ 2 ) über F q
hinaus. Man ist also durch den chinesischen Restsatz darauf zurückgeführt, die
Gleichungen (∗∗ 1 ) und (∗∗ 2 ) mit den Methoden aus Abschnitt 6 zu lösen, und
dann gewisse Systeme von Kongruenzen zu lösen. Wir gehen auf die Details ein.
(
Wenn
a
p
)
(
= −1 oder
a
q
)
= −1 gilt, dann hat (∗∗) und auch (∗) keine Lösung.
( ) ( )
a
a
Nimm nun
p
≠ −1 und
q
≠ −1 an. Dann wird (∗∗) und auch (∗) Lösungen
haben. Wir wollen diese finden.
Berechne w p ∈ sqrt Fp
([a] p ) eine Wurzel aus [a] p in F p . Diese kann mit den
Methoden aus 6 schnell berechnet werden. (Wenn p = 3 mod 4, dann kann
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