Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Kapitel 5
Public-Key-Verfahren, die
auf dem diskreten
Logarithmus beruhen
5.1 Schlüsselerzeugung
Sei G eine abelsche Gruppe und g ∈ G. Wir nennen (G, g) eine Einweggruppe,
wenn folgendes gilt:
a) Die Elemente sind “vernünftig speicherbar” und die Multiplikation und
die Inversenbildung in G ist schnell berechenbar. Dann wird mit Square
and Multiply für x ∈ {1, · · · |G|} auch exp g (x) = g x schnell berechenbar
sein.
b) Es ist aus Laufzeitgründen (vermutlich) technisch derzeit unmöglich, für
x ∈ 〈g〉 den diskreten Logarithmus log g (x) zu berechnen.
Das folgende Beispiel ist für uns besonders wichtig.
Beispiel: Sei p eine ≥ 1000-Bit-Primzahl, l eine ≥ 300-Bit-Primzahl und g ∈ F × p
ein Element der Ordnung l. Dann ist (F × p , g) eine Einweggruppe 1 .
Nicht jede Gruppe ist eine Einweggruppe. Wenn z.B. p eine 1000-Bit-Primzahl
und h ∈ F × p ein Element mit ord(h) = 2 s ist, dann ist log h (−) schnell berechenbar
und (F × p , h) ist keine Einweggruppe.
Auch die additive Gruppe (F p , +) ist keine Einweggruppe; sie ist kryptologisch
völlig unsicher.
1 Besser: Man hat derzeit (2007) sehr gute Gründe für die Annahme, daß (F × p , g) eine
Einweggruppe ist.
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