Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

ist die Menge der Nicht-Einheiten von Z/p n Z gerade
M = {[0], [p], [2p], · · · , [(p n−1 − 2)p], [(p n−1 − 1)p]}
und diese Menge hat p n−1 Elemente. Die Menge der Einheiten
(Z/p n Z) × = (Z/p n Z) \ M
hat also genau p n −p n−1 Elemente. Daraus folgt ϕ(p n ) = p n −p n−1 = p n−1 (p−1).
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Z.B. gilt ϕ(5) = 5 − 1 = 4, ϕ(8) = ϕ(2 3 ) = 2 2 (2 − 1) = 4 und ϕ(9) = ϕ(3 2 ) =
3(3 − 2) = 6, aber das wissen wir schon nach obigem Beispiel.
2.6 Der chinesische Restsatz
Sei n 1 , · · · , n t ≥ 2 und n = n 1 , · · · , n t . Im folgenden kommen Restklassen modulo
verschiedenen Idealen vor. Sei [a] := [a] n . Wir betrachten die Abbildung
f : Z → Z/n 1 Z × · · · × Z/n t Z, a ↦→ ([a] n1 , · · · , [a] nt ).
Beispiel: Wenn n 1 = 2, n 2 = 5, n 3 = 7 und n = 70 gilt, dann gilt z.B.
f(30) = ([30] 2 , [30] 5 , [30] 7 ) = ([0] 2 , [0] 5 , [2] 7 ) und f(53) = ([53] 2 , [53] 5 , [53] 7 ) =
([1] 2 , [3] 5 , [4] 7 ).
Man kann die Menge auf der rechten Seite durch komponentenweise Addition
und Multiplikation zu einem Ring mit Nullelement 0 := ([0] n1 , · · · , [0] nt ) und
Einselement 1 := ([1] n1 , · · · , [1] nt ) machen. Man sieht sofort, daß f(1) = 1,
f(a + b) = f(a) + f(b) und f(ab) = f(a)f(b) für alle a, b ∈ Z gilt, d.h. f ist ein
Ringhomomorphismus.
Man beachte: Für x, a 1 , · · · , a t ∈ Z gilt
f(x) = ([a 1 ] n1 , · · · , [a t ] nt ) ⇐⇒ ([x] n1 , · · · , [x] nt ) = ([a 1 ] n1 , · · · , [a t ] nt )
⇐⇒ x = a 1 mod n 1
x = a 2 mod n 2
.
x = a t mod n t ,
d.h. wenn man f(x) = ([a 1 ] n1 , · · · , [a t ] nt ) schreibt, so bedeutet das “in Kompaktschreibweise”,
dass die t Modulo-Gleichungen 8 auf der rechten Seite gelten;
Genau dann hat der Vektor ([a 1 ] n1 , · · · , [a t ] nt ) ein Urbild unter f, wenn das Gleichungssystem
auf der rechten Seite eine Lösung in x hat. Wenn f surjektiv ist,
dann bedeutet das, daß für jede erdenkliche Wahl der a i das Gleichungssystem
eine Lösung in x besitzt.
Satz 2.6.1 (Chinesischer Restsatz) Nimm an, dass die Zahlen n i paarweise
teilerfremd sind.
8 Man sagt auch: Kongruenzen.
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