Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Wie findet man nun eines der 16 Elemente der Ordung d = 34, d.h. einen der
Erzeuger von U 34 ? Nach 4.1.7 muß g 102/34 = [6] 3 = [10] ein solches Element
sein: U 34 = 〈[10]〉 und ord([10]) = 34.
Wie kann ich die beiden Elemente der Ordnung 6, d.h. die beiden Erzeuger von
U 6 finden? Mit 4.1.7 folgt, daß
U 6 = 〈g 102/6 〉 = 〈[6] 17 〉 = 〈[47]〉
gilt, d.h [47] erzeugt U 6 . Nach 4.1.3 sind die Erzeuger von U 6 genau die Elemente
der Form [47] u mit u ∈ (Z/6) × . Aber (Z/6) × = {[1] 6 , [5] 6 }. Daher sind [47] und
[47] 5 = [57] die beiden Erzeuger von U 6 . Die Elemente [47] und [57] haben also
Ordung 6 und weitere Elemente der Ordnung 6 gibt es nicht in F × 103 .
Zum Schluß möchte ich alle sechs Elemente der Untergruppe U 6 auflisten. Ich
muß dazu nur die Potenzen des Erzeugers 5 [47] von U 6 berechnen.
U 6 = {[47] 0 , [47] 1 , · · · , [47] 5 } = {[1], [47], [46], [102], [56], [57]}.
Ich denke, dieses Beispiel zeigt, daß sich mit obiger Strukturtheorie viele Fragen
zu der Gruppe F × 103 schnell beantworten lassen, ohne dass dafür die Potenzierungstafel
(diese hätte ≈ 102 2 Einträge!) berechnet werden müßte.
4.2 Die ρ-Methode von Pollard
Sei G eine endliche, abelsche Gruppe und g ∈ G. Wir betrachten das folgende
diskrete Logarithmus-Problem: Gegeben h ∈ G entscheide, ob h ∈ 〈g〉
und berechne gegebenenfalls ein x ∈ {0, · · · , |G| − 1} mit g x = h. Mit anderen
Worten: Man möchte, gegeben h ∈ G entscheiden, ob ein x ∈ {0, · · · , |G| − 1}
mit exp g (x) = h existiert, und ein solches x ggfls. berechnen.
Wir fassen das Problem etwas weiter:
Problem A. Seien X eine N-elementige Mengen und f : {0, · · · , N − 1} → X
eine Abbildung. Gegeben y ∈ X entscheide, ob a mit f(a) = x existiert und
berechne ggfls. ein solches a.
Wenn man nichts über die spezielle Gestalt von f weiß, so ist der folgende “naive
Algorithmus” (exhaustives Absuchen) die optimale Strategie:
löst dieses Problem A.
a = 0; while(f(a) x ANDa ≤ n − 1, a = a + 1)
Faktum A. Problem A läßt sich in O(N) Rechenschritten lösen.
Sei X eine endliche N-elementige Menge und f : X → X eine Abbildung. Sei
x 0 ∈ X ein Startwert und (x i ) i∈N die rekursiv definierte Folge mit x i+1 = f(x i ),
5 Der andere Erzeuger [57] würde das selbe Endergebnis liefern.
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