Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Bemerkung 4.1.8 Sei G eine endliche, zyklische Gruppe mit Erzeuger g. Für
jeden positiven Teiler d | |G| sei U d die Untergruppe der Ordnung d. Sei d und
d ′ positive Teiler von |G|. Genau dann gilt U d ⊂ U d ′, wenn d ein Teiler von d ′
ist.
Beweis: Sei m := |G|/d und m ′ := |G|/d ′ . Dann gilt m, m ′ ∈ N. Es gilt U d =
〈g m 〉 und U d ′ = 〈g m′ 〉. Wenn U d ⊂ U d ′ gilt, dann muß g m ∈ U d ′ gelten. Also muß
m ′ ein Teiler von m sein. Aber das impliziert d | d ′ . Die umgekehrte Implikation
ist trivial.
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Folgerung 4.1.9 Sei G eine endliche zyklische Gruppe und g ein Erzeuger von
G.
a) G hat genau so viele Untergruppen, wie |G| Teiler hat.
b) Sei d ein positiver Teiler von |G| und U die (eindeutig bestimmte) Untergruppe
mit |U| = d. Die Elemente der Ordnung d in G sind genau die
Erzeuger von U. Also gibt es in G genau ϕ(d) Elemente der Ordnung d.
Folgerung 4.1.10 In F × p gibt es für jeden positiven Teiler d von p − 1 genau
ϕ(d) Elemente der Ordnung d.
Beispiel: Wir rechnen in G := F × 103 . Wir wissen nach 4.1.5, daß G zyklisch ist.
Die obigen Struktursätze erlauben es, mit minimalem Rechenaufwand diverse
Aussagen über G zu treffen:
Für jeden positiven Teiler d von |G| = ϕ(103) = 102 gibt es genau eine Untergruppe
U d der Ordnung d. Die Menge der positiven Teiler von 102 = 2 · 3 · 17
ist
T = {2 i · 3 j · 17 k : i, j, k ∈ {0, 1}} = {1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102}.
Für jedes Element x ∈ F × 103 wird ord(x) ∈ T ein Teiler von 102 sein nach dem
kleinen Satz von Fermat 2.7.2. Es wird nach 4.1.9 genau
1 Element der Ordunung 1 (nämlich [1]),
ϕ(2) = 1 Element der Ordnung 2,
ϕ(3) = 2 Elemente der Ordung 3 (d.h. Erzeuger von U 3 ),
ϕ(6) = 2 Elemente der Ordung 6 (d.h. Erzeuger von U 6 ),
ϕ(17) = 16 Elemente der Ordung 17 (d.h. Erzeuger von U 17 ),
ϕ(34) = 16 Elemente der Ordung 34 (d.h. Erzeuger von U 34 ),
ϕ(51) = 32 Elemente der Ordung 51 (d.h. Erzeuger von U 51 ),
ϕ(102) = 32 Elemente der Ordung 102 (d.h. Erzeuger von U 102 = F × 103 )
geben.
Wir zeigen, daß g = [6] 103 ein Erzeuger von G = F × 103 ist. Nach 4.1.1 brauchen
wir nur zu zeigen, daß g 102/l ≠ [1] für jeden Primteiler l von 102 (d.h. für
l ∈ {2, 3, 17}) gilt. Es gilt [6] 51 = [102] ≠ [1], [6] 34 = [46] ≠ [1] und [6] 6 =
[100] ≠ [1]. Also ist g = [6] ein Erzeuger von G = F × 103 , d.h jedes Element in
F × 103 ist eine Potenz von [6], F× 103 = 〈[6]〉.
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