Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Satz 2.2.2 (Z, | |) ist ein euklidischer Ring. Dabei ist | | der gewöhnliche Absolutbetrag.
Beweis: Aus der Analysis dürfte bekannt sein, dass jede nicht-leere, beschränkte
Teilmenge von N ein maximales Element hat.
Sei a, b ∈ Z mit b ≠ 0. Wir nehmen der Einfachheit halber a, b ≥ 0 an. X := {x ∈
N | xb ≤ a} ist eine beschränkte Teilmenge von N (hier geht das archimedische
Prinzip ein!) mit 0 ∈ X. Sei q = max(X) das maximale Element von X und
r := a − qb. Dann gilt a = qb + r und es genügt r < b zu zeigen. Wäre r ≥ b,
dann würde a = qb + r ≥ qb + b = (q + 1)b folgen, also q + 1 ∈ X; dies wäre ein
Widerspruch zur Maximalität von q.
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Man hat auch einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von a ÷ b in Z, der
vermutlich jedermann bekannt ist. Wir erläutern ihn anhand eines Beispiels.
Beispiel:
1 2 5 3 ÷ 1 3 = 9 6 Rest 5
1 1 7
− − −
8 3
7 8
− −
5
Daher gilt 1253 ÷ 13 = 95 Rest 5 oder, anders ausgedrückt: 1253 = 95 · 13 + 5
und 5 < 13.
Ein Ring R heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal von R ein Hauptideal ist.
Satz 2.2.3 Jeder euklidische Ring (R, ‖ ‖) ist ein Hauptidealring. Insbesondere
ist jedes Ideal von Z ein Hauptideal.
Beweis: Sei I ein Ideal von R. Falls I = {0}, so ist I ein Hauptideal. Wenn
I ≠ {0}, dann sei
k = min({‖a‖ : a ∈ I \ {0}}
und a ∈ I \ {0} ein Element mit ‖a‖ = k. Offenbar gilt I ⊃ (a) R . Es reicht zu
zeigen, dass I ⊂ (a) R gilt, d.h. dass jedes Element von I durch a teilbar ist.
Sei x ∈ I beliebig. Wir können x mit Rest durch a teilen: Es gibt q, r ∈ Z mit
x = qa + r und ‖r‖ < ‖a‖. Die Gleichung r = x + (−q)a zeigt, dass r ∈ I gilt
(vgl. 2.1.5). Wegen der Minimalität von a muß ‖r‖ = 0 gelten. Daher geht obige
Divison mit Rest auf: x = qa. Also ist x durch a teilbar.
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Bemerkung 2.2.4 Sei R ein Hauptidealring (z.B. R = Z) und a, b, g ∈ R.
Genau dann gilt (a, b) R = (g) R , wenn g ein größter gemeinsamer Teiler von a
und b ist. Insbesondere hat jedes g ∈ ggT (a, b) eine Darstellung g = au + bv mit
u, v ∈ R.
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