Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Beweis: Sei m := (p − 1)/2 und g ∈ F × p
mit [a] = g k . Daher gilt [a] m = g km .
eine Primitivwurzel. Es gibt ein k ∈ Z
(a m ) 2 = a p−1 = 1 mod p nach dem kleinen Satz von Fermat, und da F p ein
Körper ist folgt daraus a m = 1 mod p oder a m = −1 mod p (∗).
( )
Wenn = 1 gilt, dann ist k nach obiger Bemerkung gerade, k = 2k ′ , und
a
p
[a] m = g 2k′m = (g k′ ) p−1 = [1] nach dem kleinen Satz von Fermat.
( )
Wenn = −1 gilt, dann ist k ungerade und km kann nicht durch ord(g) = p−
a
p
1 = 2m teilbar sein. Also ist [a] m = g km ≠ [1] und mit (∗) folgt a m = −1 mod p.
( )
In jedem Fall gilt also a m = mod p.
a
p
Sei nun u, v ∈ F × p . Wenn u = 0 oder v = 0 gilt, dann sind beide Seiten der
( ) ( ) ( )
uv u v
Gleichung
p
=
p p
Null. Wir nehmen u, v ∈ F × p an. Es gibt k, l ∈ N
mit u = g k und v = g l . Man folgert
( ) ( )
( ) ( )
uv g
k+l
u v
= = (−1) k+l = (−1) k (−1) l =
p p
p p
mit Hilfe obiger Bemerkung.
□
Folgerung 6.1.4 Nach dem 2. Teil des obigen Satzes gilt in F × p : Das Produkt
von zwei Quadraten ist ein Quadrat. Das Produkt von einem Quadrat mit einem
Nicht-Quadrat ist ein Nicht-Quadrat. Das Produkt von zwei Nicht-Quadraten ist
ein Quadrat! Letzteres ist in Q × ganz anders.
Sei nun b ≥ 3 eine ungerade Zahl und b = p e1
1 · · · pet t die Primfaktorzerlegung von
b (p i paarweise verschiedene Primzahlen). Für a ∈ Z ist das Jacobi-Symbol
definiert durch
( a
) ( ) e1
( ) et
a a
= · · · .
b p 1 p t
Man beachte: b muß eine ungerade Zahl mit b ≥ 3 sein. An a ∈ Z werden
keine weiteren Bedingungen gestellt.
Beispiel: Ich möchte ( 2
35)
berechnen. Dazu kann man wie folgt vorgehen.
Per Definition gilt ( (
2
35)
=
2
( 2
)
5)
7 . Ferner gilt F
×2
5 = {[1] 5 , [4] 5 } und F ×2
7 =
{[1] 2 7, [2] 2 7, [3] 2 7} = {[1] 7 , [4] 7 , [2] 7 }. Es folgt ( (
2
35)
=
2
( 2
5)
7)
= (−1)(+1) = −1. □
Bemerkung 6.1.5 Sei b ≥ 3 ungerade.
1. Sei a, a ′ ∈ Z. Wenn a = a ′ mod b gilt, dann muß a = a ′ mod p i für alle i
gelten und daher gilt ( ) ( )
( )
a
b =
a ′
b
. Es hat Sinn [a]b
b
:= ( )
a
b zu definieren.
2. Für u, v ∈ Z gilt ( ) (
uv
b = u
) ( v
)
b b . Dies folgt unmittelbar aus der entsprechenden
Rechenregel für das Legendre-Symbol.
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