Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

n(H) = 7, n(A) = 0, n(L) = 11 und n(O) = 14. Was bedeutet dann die Zahl
215? Die 26-adische Entwicklung ist 215 = 7 + 8 · 26. Ferner gilt n −1 (7) = H
und n −1 (8)) = I. Die Zahl 215 entspricht also dem Text HI.
Etwas längere Texte können blockweise übertragen werden. Für die Übertragung
großer Datenmengen ist RSA nicht geeignet, weil dann die Ver- und Entschlüsselung
zu lange dauern. Hier ist es besser, mit RSA nur einen Schlüssel zu
übermitteln, der dann für eine Private-Key-Sitzung (z.B. mit AES) verwendet
wird.
3.4 Faktorisierung mit der Fermat-Methode
Sei N = pq ein Produkt von zwei großen Primzahlen p und q. Falls p und q
sehr nah beisammen liegen, kann man N durch den folgenden “naiven” Ansatz
faktorisieren: Man sucht ab m := ⌈ √ N)⌉ nach einem Teiler von N. Die folgende
Fermat-Methode ist eine weitgehende Verbesserung dieses Ansatzes.
Wir können q < p annehmen. Sei im folgenden 6 x := 1 2 (p+q) und y := 1 2 (p−q).
Dann gilt p = x + y und q = x − y und es folgt
N = pq = (x + y)(x − y) = x 2 − y 2 .
Nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel gilt
√ √ 1
N = pq ≤ (p + q) = x.
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Wer N faktorisieren möchte, wird ab ⌈N⌉ nach x suchen.
Algorithmus 3.4.1 (Faktorisierungsmethode von Fermat)
Eingabe: Ein Produkt N von zwei ungeraden Primzahlen.
x := ⌈ √ N⌉
while(issquare(x 2 − N) = false, x = x + 1)
y = √ x 2 − N
p = x + y
q = x − y
Ausgabe: N ist Produkt von p und q.
Satz 3.4.2 Sei N ein Produkt von zwei ungeraden Primzahlen p > q. Sei α ∈ R
eine Zahl mit |p − q| ≤ α 4√ N. Dann findet man mit dem obigen Algorithmus p
und q nach höchstens α2
8 Schritten.
6 Wer N Faktorisieren möchte, kennt N, nicht aber p, q, x, y.
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