Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

[a m20 ] ≠ [1] muß t ≥ 1 gelten. Sei r := t − 1 und x := [a] m2r . Wegen der
Minimalität von t muß x ≠ [1] sein. Ferner gilt
x 2 = ([a] m2r ) 2 = [a] m2r+1 = [a] m2t = [1].
Weil Z/NZ ein Körper ist, folgt daraus x = [1] oder x = [−1]. Aber x = [1] ist
unmöglich (s.o.). Also gilt x = [a] m2r = [−1], wie gewünscht. □
Für N > 2 ungerade mit N = 2 s m und m ungerade. Wir nennen a ∈ {2, 3, · · · , N−
1} einen Zeugen gegen die Primalität von N, wenn eine der folgenden Aussagen
wahr ist:
a) a ist nicht zu n teilerfremd.
b) a ist zu N teilerfremd und a m ≠ 1 mod N und a m2r ≠ −1 mod N ∀r ∈
{0, · · · , s − 1}.
Man kann leicht eine Routine implementieren, die bei der Eingabe (N, a) prüft,
ob a Zeuge gegen die Primalität von N ist. Um Bedingung a) zu prüfen, kann
man ggT (N, a) mit dem euklidischen Algorithmus 2.2.7 berechnen. Beim Prüfen
von b) ist der Vektor ([a] m20 , a m21 , · · · , [a] m2s−1 ) zu berechnen. Hier kommt
Square and Multiply zum Einsatz.
Klar ist nun folgendes: Wenn es in {2, · · · , N − 1} einen Zeugen gegen die Primalität
von N gibt, dann ist N sicher nicht prim. (Sei a ein solcher Zeuge und g
der nicht-negative ggT von N und a. Falls g ≠ 1 gilt ist g ≥ 2 ein echter Teiler
von N und N ist aus diesem Grund nicht prim. Falls g = 1 gilt, so ist die obige
Bedingung b) erfüllt und obiger Satz impliziert, daß N nicht prim sein kann.)
Man wird fragen, ob für zusammengesetztes N auch immer genug Zeugen a ∈
{1, · · · , N − 1} gegen die Primalität von N existieren. Der folgende Satz besagt,
dass die Antwort ja ist:
Satz 3.2.2 Sei N ≥ 2 ungerade. Wenn N zusammengesetzt ist, dann sind mindestens
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der Zahlen im Bereich 1, · · · , N − 1 Zeugen gegen die Nicht-Primalität
von N.
Für den Beweis verweisen wir auf [B], Theorem 6.4.2.
Wenn N zusammengesetzt ist, dann gibt es nach diesem Satz sogar so viele Zeugen
gegen die Primalität von N, daß man höchstwahrscheinlich durch “simples
Herumprobieren” schnell einen solchen Zeugen findet. Wenn N prim ist, dann
gibt es sicher keinen Zeugen gegen die Primalität von N. Dies macht sich der
Miller-Rabin-Test zu Nutze.
Algorithmus 3.2.3 (Miller-Rabin-Test)
Eingabe: N ≥ 2 und Steuerparameter B ≥ 2, t ≥ 1.
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