Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Kapitel 6
Quadratische Reste,
Jacobi-Symbole und
Anwendungen
6.1 Quadratische Reste
Sei R ein Ring. Wir definieren R ×2 := {x 2 |x ∈ R × }. Dies ist eine Untergruppe
der Einheitengruppe R × ; sie wird Gruppe der Quadrate in R × genannt. Per
Definition gilt 0 /∈ R ×2 . Wenn p prim ist, dann werden die Elemente von F ×2
p
Quadrate in F × p oder quadratische Reste modulo p genannt.
Sei b ∈ R × . Offenbar gilt: Genau dann ist die Gleichung X 2 = b lösbar über R,
wenn b ∈ R ×2 gilt.
Bemerkung 6.1.1 Z.B. gilt
F × 5 = {[1]2 5, [2] 2 5, [3] 2 5, [4] 2 5} = {[1] 5 , [4] 5 } = {[1] 5 , [4] 5 , [3] 5 , [4] 5 },
und
(Z/4) ×2 = {[1] 2 4, [3] 2 4} = {[1] 4 }
(Z/8) ×2 = {[1] 2 8, [3] 2 8, [5] 2 8, [7] 2 8} = {[1] 8 }
Sei p ≠ 2 eine Primzahl. Für a ∈ Z sei [a] := [a] p die Restklasse von a modulo
p. Wir interessieren uns hauptsächlich für die Quadrate in F × p . Für jede Zahl
a ∈ Z definieren wir das sogenannte Legendre-Symbol als
⎧
( ) a
⎨ 0 falls p | a,
= 1 falls [a] ∈ F ×2
p ein Quadrat ist,
p ⎩
−1 falls [a] /∈ F ×2
p ein Nicht-Quadrat ist.
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