Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

5.4 Schlüsselaustausch nach Diffie-Hellman
Dieses Protokol ist kein Verschlüsselungsverfahren. Ziel ist es zwei User X und Y
in den Besitz eines gemeinsamen Geheimnisses k X,Y (etwa eine 1000-Bit-Zahl)
zu bringen, ohne daß dafür ein persönliches Treffen stattfinden muß. Wenn z.B.
große Datenmengen zu übertragen sind, dann werden X und Y ein Private-
Key-Verfahren (z.B. Triple-DES, AES, IDEA, BLOWFISH) verwenden müssen.
Aus dem gemeinsamen Geheimnis können dann Schlüssel für die Private-Key-
Sitzung abgeleitet werden. Wenn z.B. k X,Y eine 1000-Bit-Zahl ist, dann kann
ein geeigneter 256-Bit-Hashwert von k X,Y (bez. einer öffentlich bekannten Hash-
Funktion) als Schlüssel für eine AES-Sitzung genommen werden.
Durch Kombination von Diffie-Hellman mit einem Private-Key-Verfahren entsteht
also die Möglichkeit, große Datenmengen schnell verschlüsselt zu übertragen,
ohne sich vorher zur Schlüsselvereinbarung treffen zu müssen.
Wie bei ElGamal sei folgende Situation zugrunde gelegt: (G, g) ist eine öffentlich
bekannte Einweggruppe 10 . U ist eine Menge von Usern (evtl. nur zwei). Jeder
User X wählt zufällig ein d X ∈ {2, · · · , ord(g)−1} (nicht zu klein) und berechnet
E X := g d X
∈ G.
d X bleibt geheim (nur User X kennt d X ) und E X wird öffentlich gemacht.
Vgl. das erste Beispiel in Abschnitt 5.3
Sei nun k X,Y := g d X d Y
. User X kann dies mit der Formel k X,Y = E d X
Y
berechnen;
er kennt ja seinen geheimen Schlüssel d X und E Y ist ohnehin öffentlich. Auch
User Y kann k X,Y berechnen. Er verwendet die Formel k X,Y = E d Y
X .
Die User X und Y teilen also das Geheimnis k X,Y .
Wir nennen im folgenden k X,Y das DH-Geheimnis von X und Y.
Beispiel: Betrachten wir wieder die User-Group aus dem Abschnitt 5.3. Als
Gruppe ist (G, g) = (F 103 , [3]) gewählt und veröffentlicht.
X
E X
ALICE [49]
BOB [67]
.
OSKAR [12]
SEBAST IAN [43]
· · · · · ·
Mein geheimer Schlüssel ist d S = 77.
k S,A = E d S
A
= [49]77 = [7] ist das DH-Geheimnis, das ich mit Alice teile.
k S,O = E d S
O
= [103]77 = [20] ist das DH-Geheimnis, das ich mit Oskar teile.
· · · □
Angriffe:
10 Eine solche Gruppe kann mit 5.1.1 erzeugt werden.
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