Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

1.4 Permutationen und monoalphabetische Substitution
Wir beginnen diesen Abschnitt mit einem “Steilkurs zu Permutationen” und
gehen dann kurz auf die Verschlüsselung durch monoalphabetische Substitution
ein. Einige Grundlagen zu Permutationsgruppen werden aus anderen Vorlesungen
bekannt sein; wir konzentrieren uns auf Resultate, die im folgenden
besonders wichtig sind, insbesondere für das Verständnis der Chiffriermaschine
Enigma, der wir uns dann im nächsten Abschnitt zuwenden.
Sei X eine Menge und
S(X) := {σ : X → X | σ ist bijektiv}.
Sei σ ∈ S(X). Ein Element x ∈ X heißt Fixpunkt von σ, wenn σ(x) = x gilt. σ
heißt fixpunktfrei, wenn σ(x) ≠ x für alle x ∈ X gilt. σ heißt involutorisch,
wenn σ◦σ(x) = x für alle x ∈ X gilt. Genau dann ist σ involutorisch, wenn σ mit
seiner Umkehrabbildung übereinstimmt, d.h. wenn σ = σ −1 gilt. Involutorische
Permutationen spielen in der Kryptographie eine gewisse Rolle.
Beispiel: Sei X = {A, B, C, D, E, F, G}. Wir geben σ, η ∈ S(X) “in Tabellenform”
an:
( ) ( )
A B C D E F G
A B C D E F G
σ =
, η =
.
C G E B A D F
B A D C F E G
η hat Fixpunkt G, während σ fixpunktfrei ist. σ ist wegen σ ◦ σ(A) = σ(C) =
E ≠ A nicht involutorisch. η hingegen ist involutorisch.
□
Für x 1 , · · · , x n ∈ X paarweise verschieden bedeutet die Notation 16
σ := (x 1 , · · · , x n ),
daß σ ∈ S(X) die Elemente x 1 , · · · , x n zyklisch permutiert und die anderen
Elemente von X festläßt; in Formeln: σ(x i ) = x i+1 für i ∈ {1, · · · , n − 1},
σ(x n ) = x 1 und σ(x) = x für x ∈ X \{x 1 , · · · , x n }. Die Bijektion σ = (x 1 , · · · x n )
verfährt also gem. dem Muster
x 1
σ
→ x2
σ
→ · · ·
σ
→ xn−1
σ
→ xn
σ
→ x1 .
Eine solche Permutation wird n-Zykel genannt. Die 2-Zyklen heißen Transpositionen;
sie vertauschen zwei Elemente und lassen den Rest fest. Die Einerzyklen
(x) sind die Identität. Zwei Zyklen σ = (x 1 , · · · , x s ) und η = (y 1 , · · · , y t )
werden disjunkt genannt, wenn {x 1 , · · · , x s } ∩ {y 1 , · · · , y t } = ∅. Der folgende
Satz ist sicher aus der linearen Algebra geläufig.
Satz 1.4.1 Sei X eine endliche Menge.
16 Diese Notation ist m.E. nicht ideal, aber sie ist Standard. Ob mit (x 1 , ·, x n) ein Vektor
oder der entsprechende n-Zykel (d.h. eine gewisse Bijektion, also ganz etwas anderes) gemeint
ist, muß aus dem Kontext eindeutig hervorgehen.
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