Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Führe Probedivision durch die Primzahlen ≤ B durch. Diese Primzahlen sollten
vorab in einer Liste gespeichert werden. (Ein vernünftiger Wert für B wäre
vielleicht B = 100 oder B = 1000.) Wenn schon dabei ein Teiler von N gefunden
wird, dann gib “N ist nicht prim; (N hat sogar einen nicht-trivialen Teiler
≤ B)” aus und halte an.
Wähle t Werte a 1 , · · · a t ∈ {1, 2, · · · , N − 1}. Dies kann per Zufallsgenerator
geschehen. M.E. wäre auch die Wahl a 1 = 2, a 2 = 3, · · · , a t = t + 1 nicht
besonders nachteilig. (Ein vernünftiger Wert für t könnte t = 10 sein.)
Prüfe für jede dieser Zahlen a i , ob a i ein Zeuge gegen die Primalität von N ist.
Wenn dabei ein Zeuge gegen die Primalität gefunden wird, gib aus “N ist nicht
prim (und dies wird durch a i bezeugt).”
Wenn kein Zeuge gegen die Primalität gefunden wird, gib aus “N ist wahrscheinlich
prim”.
Sei ε die Fehlerwahrscheinlichkeit dieses Tests, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass der Test auf zusammengesetztes N mit “wahrscheinlich prim” antwortet.
Dies passiert genau dann, wenn N zusammengesetzt ist und bei t Wahlen
a i ∈ {1, 2, · · · , N − 1} lauter Nicht-Zeugen gefunden wurden, obwohl höchstens
1/4 der Elemente von {1, · · · N − 1} Nicht-Zeugen sind. Die Fehlerwahrscheinlichkeit
erfüllt also ε ≤ (1/4) t (z.B ε ≤ 0.000095% für t = 10). Wenn man
den Parameter t erhöht, dann verringert sich die Fehlerwahrscheinlichkeit auf
Kosten der Laufzeit.
Algorithmus 3.2.4 Zur Wahl einer großen Zufallsprimzahl wählt man eine
Zufallszahl M und wendet den Miller-Rabin-Test mit Parameter t 1 (t 1 hier nicht
allzu groß, vielleicht t 1 = 5 oder t 1 = 10) auf M, M + 1, M + 2, · · · an, bis das
Ergebnis “M + k ist wahrscheinlich prim” erzielt wird.
Wer auf Nummer sicher gehen will, wird vielleicht abschließend noch einmal
einen Miller-Rabin-Test auf M + k anwenden, aber jetzt mit sehr hohem Parameter
t 2 (z.B. t 2 = 30). Sollte die Antwort dann wider aller Erwartungen “M +k
ist nicht prim” lauten, so beginnt man noch einmal von vorne. Anderenfalls ist
M + k mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit prim.
3.3 RSA
Wir erläutern nun das Kryptographieverfahren RSA. Dies war das erste Public-
Key-Verfahren und ist bis heute das wichtigste.
Alice möchte sich von jemandem, sagen wir Bob, oder sogar von jedermann verschlüsselt
Nachrichten schicken lassen können. Sie (bzw. die auf Ihrem Rechner
installierte Software) wählt dazu zwei große Zufalls-Primzahlen p und q (hier
kann sie den Miller-Rabin-Test 3.2.3 verwenden) mit p ≠ q und bildet das Produkt
N = pq. Derzeit (2007) gilt es als sicher, mit Primzahlen p und q jeweils
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