Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Beispiel: Betrachten wir die Usergroup in obigem Beispiel. Wenn ich die Nachricht
m = [100] an Alice senden möchte, dann entnehme ich g = [5] und
E A = [49] der Homepage. Ich wähle k zufällig, z.B. k = 19. Dann berechne
ich
(c 1 , c 2 ) = (g k , mE k A) = ([5] 19 , [100][49] 19 ) = ([86], [83])
und sende das Paar ([86], [83]) an Alice.
Beispiel: Ich möchte obiger Usergroup beitreten. Dazu wähle ich vielleicht d S =
77, berechne E S = g d S
= [5] 77 = [43] und trage E S ein:
X
E X
ALICE [49]
BOB [67]
.
OSKAR [12]
SEBAST IAN [43]
· · · · · ·
Die Zahl d S = 77 muß ich geheim halten. Nehmen wir an, die erste Nachricht, die
bei mir eingeht, ist (c 1 , c 2 ) = ([17], [99]). Dann wollte mir jemand den Klartext
m = c −d S
1 c 2 = [17] −77 [99] = [78] mitteilen. □
Wir diskutieren die Sicherheit von ElGamal.
a) Nimm an, Oskar hat den Dialog zwischen Alice und Bob mitgehört. Er
kennt dann c 1 = g k , c 2 = mE k A = gd Ak und auch E A = g d A
. Nimm an, es
gelingt Oskar auf irgendeine Art und Weise m zu bestimmen. Dann kommt
es leicht auch in den Besitz von g d Ak . Das Brechen von ElGamal ist also
genauso schwer wie das Lösen des folgenden Diffie-Hellman-Problems.
Diffie-Hellman-Problem: Sei (G, g) eine Einweggruppe. Gegeben A =
g a , B = g b (a und b unbekannt) berechne 9 g ab .
Offenbar gilt g ab = A Log g (B) = B Log g (A) (*). Das Berechnen der diskreten
Logarithmen gilt aber als technisch unmöglich. Es wird vermutet, daß
es keinen schnelleren Algorithmus für die Berechnung von g ab gibt, als
Log g (B) zu berechnen und die Formel (∗) zu benutzen. Ueli Maurer hat
Ergebnisse in Richtung dieser Vermutung bewiesen.
b) ElGamal ist nicht sicher gegen einen Man-in-the-Middle-Angriff. Nimm
an Oskar kann die Homepage der Usergroup verändern oder einem einzelnen
User (sagen wir B) eine Fälschung dieser Homepage unterschieben.
Dann wird es Oskar gelingen dem User B vorzutäuschen, sein öffentlicher
Schlüssel E O = g d O
sei der Schlüssel von A. Bob wird dann Nachrichten
an A so verschlüsseln, dass Oskar (aber nicht A) sie entschlüsseln kann.
Wenn Oskar alles abhört was Bob schreibt, so kommt er in den Besitz der
Nachrichten, die eigentlich für A bestimmt waren.
Elektronische Unterschriften und Trustcenter können verhindern, daß einem
User ein Fake-Schlüssel untergeschoben wird.
9 g a+b = AB ist leicht zu berechnen, aber das hilft nichts für die Berechnung von g ab .
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