Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Daraus 2 folgt, daß (∗) keine Lösung hat, d.h. sqrt R ([24] 77 ) = ∅.
b) Löse X 2 = [15] 77 . Es gilt ( ) (
15
7 = 1
) (
7 = +1 und 15
(
11)
=
4
11)
= +1. Also
wird es (genau 4) Lösungen geben.
Finde zuerst eine Lösung X 2 = [15] 7 (= [1] 7 ) über F 7 . Offensichtlich ist
w 7 = [1] 7 ∈ sqrt([1] 7 ) eine solche Lösung.
Nun wird eine Lösung von X 2 = [15] 11 (= [4] 11 ) gebraucht. Offensichtlich
hat w 11 = [2] 11 diese Eigenschaft.
Eine Lösung von x = 1 mod 7 und x = 2 mod 11 ist x = 57.
Eine Lösung von y = −1 mod 7 und y = 2 mod 11 ist y = 13.
Somit ist
sqrt R ([15] 77 ) = {[57] 77 , [−57] 77 , [13] 77 , [−13] 77 } = {[13] 77 , [20] 77 , [57] 77 , [64] 77 }
die Lösungsmenge von X 2 = [15] 77 über Z/77, d.h. die Menge der vier
Wurzeln aus [15] 77 .
□
Seien p ≠ q 1000-Bit-Primzahlen und N = pq. Die Funktion
s : Z/N → Z/N, x ↦→ x 2
ist ein wichtiges Beispiel für eine Trapdoor-Oneway-Funktion, d.h.
a) s(x) ist aus x schnell berechenbar.
b) Wer p und q kennt, der kann zu gegebenem y alle Wurzeln berechnen, d.h.
s −1 (y) bestimmen.
c) Wer p und q nicht kennt, für den ist “die Falltüre geschlossen”. Ohne p und
q zu kennen ist es für (die meisten) y praktisch unmöglich alle Wurzeln zu
berechnen, d.h. s −1 (y) zu bestimmen (oder p und q zu finden).
Alice möchte sich mit dem Rabin-Verfahren verschlüsselte Nachrichten schicken
lassen können. Wie bei RSA wählt sie zwei große Primzahlen p ≠ q. Sie berechnet
N = pq. (Derzeit gilt es als sicher, mit 1000-Bitzahlen p und q zu arbeiten.
Um einem Angriff mit der p − 1-Methode vorzubeugen ist es sinnvoll p und q so
zu wählen, daß (p−1) und (q −1) je einen großen (vielleicht 300 Bit) Primfaktor
haben. p und q sollten nicht allzu nah beisammen liegen. Vgl. die Bemerkungen
zu RSA.)
Alice macht nun N öffentlich.
Sie hält p und q geheim.
Verschlüsselung: Der Nachrichtenraum ist Z/N. Bob verschlüsselt seine Nachricht
m ∈ Z/N zu c = m 2 und überträgt c an Alice.
2 Es gilt ( ) ( 24
11 = −1 und übrigends 24 )
77 = +1, aber diese Informationen werden hier nicht
gebraucht.
94