Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

p die einzigen nicht-negativen Teiler von p sind.
Lemma 2.3.1 (Lemma von Bézout) Sei p eine Primzahl und a, b ∈ Z. Wenn
p | ab gilt, dann gilt p | a oder p | b.
Dies wird aus Satz 2.5.4 folgen, den wir später beweisen werden. (Natürlich werden
wir die Ergebnisse dieses Abschnittes nicht im Beweis von 2.5.4 benutzen.)
Satz 2.3.2 Zu jeder natürlichen Zahl N ≥ 2 gibt es Primzahlen p 1 , · · · , p t mit
N = p 1 · · · p t . Diese Darstellung als Produkt von Primzahlen ist bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Beweis: Die Existenz der Primfaktorzerlegung zeigen wir durch vollständige
Induktion nach N. Der Fall N = 2 ist klar. Im Induktionsschritt N − 1 → N
zeigen wir, dass N ein Produkt von Primzahlen ist, wenn jede Zahl N ′ mit
2 ≤ N ′ < N als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Falls N eine
Primzahl ist, so sind wir fertig. Falls N nicht prim ist, so kann man N = N ′ N ′′
mit 2 ≤ N ′ , N ′′ < N schreiben und sowohl N ′ als auch N ′′ sind nach Induktions-
Hypothese Produkte von Primzahlen. Daher ist N ein Produkt von Primzahlen.
Zur Eindeutigkeit der Darstellung: Gelte N = p 1 · · · p r = q 1 · · · q s mit Primzahlen
p i , q i und mit r ≤ s. Wir zeigen durch vollständige Induktion nach s,
daß es eine Bijektion σ : {1, · · · , s} → {1, · · · , r} mit q i = p σ(i) ∀i gibt. Dies
ist klar, wenn s = 1. Sei s ≥ 2. Dann gilt q s | p 1 · · · p r und nach dem obigen
Lemma von Bézout gibt es ein k ∈ {1, · · · , r} mit q s | p k , d.h. mit q s = p k . Dann
folgt 3 p 1 · · · ˆp k · · · p r = q 1 · · · q s−1 und nach Induktions-Hypothese gibt es eine
Bijektion ˜σ : {1, · · · , r} \ {k} → {1, · · · , s − 1} mit p˜σ(i) = q i ∀1 ≤ i ≤ s − 1.
Die Bijektion σ mit σ(i) = ˜σ(i) für 1 ≤ i ≤ s − 1 und mit σ(s) = k leistet das
Gewünschte.
□
Aus algorithmischer Sicht ist das Berechnen der Primfaktorzerlegung sehr zeitaufwändig.
Beispiel: Es gilt 300 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 2 2 · 3 · 5 2 und 1750 = 2 · 5 3 · 7. Dies wurde
“durch Probedivision” errechnet.
□
Bemerkung 2.3.3 Seien p 1 , · · · , p t paarweise verschiedene Primzahlen. Sei e 1 , · · · , e t ∈
N und f 1 , · · · , f t ∈ N. Sei x = p e1
1 · · · pet t und y = p f1
1 · · · pft t .
1. Genau dann gilt x | y, wenn e i ≤ f i für alle i ∈ {1, · · · , t} gilt.
2. g := ∏ t
i=1 pmin(ei,fi)
i ist ein größter gemeinsamer Teiler von x und y.
Beispiel: Wir wollen das nicht-negative g ∈ ggT(300, 1750) berechnen. Es gilt
300 = 2 2 · 3 · 5 2 · 7 0 und 1750 = 2 · 3 0 · 5 3 · 7. Also folgt g = 2 · 5 2 = 50. □
3 Der Hut bedeutet, daß der entsprechende Faktor ausgelassen wird.
34