Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Folgerung 4.1.5 a) Wenn k ein endlicher Körper ist, dann ist k × zyklisch.
Insbesondere ist F × p für jede Primzahl p zyklisch.
b) Sei N ≥ 2. Wenn (Z/N) × zyklisch ist 1 , dann gibt es in G := (Z/N) ×
genau ϕ(|G|) = ϕ(ϕ(N)) Erzeuger von G. Diese Erzeuger werden auch
Primitivwurzeln modulo N genannt. Mithin liegen in F × p genau ϕ(p −
1) Primitivwurzeln modulo p.
Beispiel: Wir wollen die Primitivwurzeln von F 13 (d.h. die Erzeuger von G :=
F × 13 ) bestimmen. Wir setzen [a] := [a] 13. Es gilt |G| = |F 13 | = ϕ(13) = 12. Nach
obiger Folgerung 4.1.5 muß es ϕ(12) = ϕ(4)ϕ(3) = 4 solche Primitivwurzeln
geben. Die Primteiler von 12 sind 2 und 3. Nach 4.1.3 ist [a] ∈ F 13 Primitivwurzel
genau dann, wenn [a] 12/3 ≠ [1] und [a] 12/2 ≠ [1] gilt. Wir testen auf gut Glück,
ob [2] Primitivwurzel ist. [2] 4 = [3] ≠ [1] und [2] 6 = [3][4] = [12] ≠ [1]. Also ist
[2] Primitivwurzel. Die anderen Primitivwurzeln sind von der Form [2] u , wobei
u ∈ (Z/12Z) × = {1 + 12Z, 5 + 12Z, 7 + 12Z, 11 + 12Z}. D.h. die Gesamtheit aller
Primitivwurzeln ist hier [2], [2] 5 = [6], [2] 7 = [6][4] = [11], [2] 11 = [−3][2] = [7].
Wir berechnen die Potenzen der Primitivwurzel [2] und der Nicht-Primitivwurzel
[3]:
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (12)
[2] k [1] [2] [4] [8] [3] [6] [12] [11] [9] [5] [10] [7] ([1])
[3] k [1] [3] [9] [1] [3] [9] [1] [3] [9] [1] [3] [9] ([1])
Hier kann man das unterschiedliche Verhalten gut sehen. Jedes Element von
F × 13 kann als Potenz der Primitivwurzel [2] geschrieben werden, d.h. 〈[2]〉 =
F × 13 . Die Potenzen der Nicht-Primitivwurzel [3] liegen alle in der Menge 〈[3]〉 =
{[1], [3], [9]}.
Sei G eine endliche, abelsche Gruppe und g ∈ G. Die Abbildung
ist dann bijektiv und es gilt
exp G,g : (Z/ord(g)Z, +) → (〈g〉, ·), u ↦→ g u
exp G,g (u + v) = g u+v = g u g v = exp G,g (u) exp G,g (v)
für alle u, v ∈ Z/ord(g)Z, d.h. exp G,g ist ein Isomorphismus von Gruppen. Die
Umkehrabbildung wird mit log G,g bezeichnet und diskreter Logarithmus zur
Basis g (bez. der Gruppe G) genannt. Für x ∈ 〈g〉 sei ferner Log G,g (x) ∈ Z
der kleinste nicht-negative Repräsentant von log G,g (x). Dann ist Log G,g (x) die
kleinste nicht-negative Zahl k ∈ Z mit g k = x.
ist wieder ein Isomorphismus; es gilt
log G,g : (〈g〉, ·) → (Z/ord(g)Z, +)
log G,g (xy) = log G,g (x) + log G,g (y)
1 Das braucht im allgemeinen nicht der Fall sein, wie das Bsp. N = 8 zeigt!
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