Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

) /* Ende while
if(a=0, s:=0);
Ausgabe: Das gesuchte Jacobi-Symbol ist s.
Man beachte, daß das Produkt s·( a
b
)
bei keinem der Teilschritte verändert wird.
Nach jedem Schleifendurchlauf sinkt a ab.
Dieser Algorithmus ist sehr schnell. Die Laufzeit ist ähnlich schnell wie bei dem
euklidischen Algorithmus zur Berechnung von ggT (a, b).
Sei nun p ≠ 2 eine Primzahl und a ∈ F × p . Wir schreiben sqrt(a) := {x ∈ F p :
x 2 = a} für die Lösungsmenge der Gleichung X 2 = a. Mit(
obigem ) Algorithmus
kann man testen, ob a ein Quadrat ist oder nicht. Falls = −1 so ist a ∈
F × p \ F ×2
p und die Gleichung X 2 = a hat keine Lösung, d.h. sqrt(a) = ∅. Wenn
( )
= 0, dann gilt a = 0 und sqrt(a) = {0}.
a
p
(
Wenn
a
p
)
= +1, dann hat die Gleichung X 2 = a genau zwei Lösungen x und
−x und sqrt(a) ist zweielementig. Aber wie findet man diese Lösungen?
Beispiel: Wir rechnen in F 13 . Nach der Tabelle im Beispiel zu Beginn dieses
Beispiels liest man leicht ab: sqrt([2]) = ∅, sqrt([10]) = {[6], [7]} = {[6], [−6]},
sqrt([12]) = {[5], [8]} ect. □.
Das Anlegen einer geeigneten Tabelle ist für die Berechnung von sqrt(a) ein
unnötig langsames Verfahren. Es gibt eine viel schnellere Möglichkeit. Wir beginnen
mit dem einfachen Sonderfall p = 3 mod 4.
a
p
Satz 6.2.4 Sei p eine Primzahl mit p = 3 mod 4 und a ∈ F × p ein Element mit
( )
= +1. Sei 1 x := a p+1
4 . Dann gilt x 2 = a, d.h. sqrt(a) = {x, −x}.
a
p
(
Beweis: Es gilt x 2 = a (p+1)/2 = a (p−1)/2+1 = a (p−1)/2 a = a, denn aus
a
p
)
= +1
folgt a (p−1)/2 = [1] p (alle Rechnungen in F p ) nach dem Satz von Euler 6.1.3. □
Beispiel: Wir rechnen in F 23 . Es gilt ( 2
23)
= +1 nach dem Ergänzungssatz 6.2.2
(beachte 23 = 7 = −1 mod 8). Daher ist [2] 23 ein Quadrat. Es gilt 2 (23+1)/4 =
2 6 = 64 = 18 mod 23. Wegen 23 = 3 mod 4 muss muß nach obigem Satz
18 2 = 2 mod 23 gelten und natürlich folgt dann auch (−18) 2 = 5 2 = 2 mod 23.
Also ist sqrt([2]) = {[18], [−18]} = {[5], [18]} die Lösungsmenge der Gleichung
X 2 = [2] über F 23 . (Man kann sich nachträglich leicht direkt davon überzeugen,
dass 5 2 = 25 = 2 mod 23 und 18 2 = 324 = 2 mod 23 gilt.)
Wegen 23 = 3 mod 4 gilt ( )
−1
23 = −1 (vgl. 6.2.2) und somit sqrt([−1]23 ) = ∅.
D.h. die Gleichung X 2 = [−1] hat keine Lösung in F 23 .
□
1 Beachte: p + 1 = 4 = 0 mod 4, d.h. p + 1 ist durch 4 teilbar.
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